Travaux dirigés n°1 : Température, Fonctions d'états & Coefficients thermo-élastiques Exercice 1. Thermomètre à gaz à volume constant

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  Université de Cergy-Pontoise  Année 2016-17  L2S4 - Thermodynamique TD n° 1 Travaux dirigés n°1 : Température, Fonctions d'états & Coefficients thermo-élastiques Exercice 1. Thermomètre à gaz à volume constant  Principe d'un thermomètre à gaz à volume constant : à gauche, une cellule rigide contenant un gaz à faible température de liquéfaction (H, He ou N par exemple) est connecté à un tube capillaire en forme de U rempli de mercure (Hg), lui-même connecté à un réservoir de mercure mobile, à droite. Le niveau du mercure en contact avec le gaz est maintenu constant en déplaçant le réservoir verticalement. Lors d'une variation de la température, la pression du gaz change, suivant approximativement la loi  PV = nRT  . L'écart entre la pression du gaz et la pression atmosphérique est mesuré par la différence de niveaux de mercure entre les deux branches du manomètre.À l'aide d'un thermomètre de ce type, on mesure la température d'un gaz. Pour cela, on plonge le thermomètre dans ce gaz puis dans un mélange eau+glace et on relève respectivement les pressions  p  et  p f : Mesuren° 1n° 2n° 3n° 4  pf   (mmHg)700500300100  pf   (mmHg)902642.4384.3128.5Que penser de la validité de la loi  PV = nRT   selon les données ? Déterminer graphiquement la valeur limite de  p /  p f   lorsque  p f tend vers 0. En déduire la température absolue T   du gaz. Exercice 2. Soit l'équation d’état d’un gaz parfait pour une mole :  PV = RT  . a) Exprimer la différentielle de la fonction V  . b) Peut-on dire que d V   est une différentielle totale exacte ? Si oui, vérifier l’égalité de Schwartz. Exercice 3.   Le transfert thermique (chaleur) élémentaire échangé par une mole de gaz avec le milieu extérieur est donné, en fonction des variables pression  p  et température T  , par l'équation : δ Q =−  RT  p d  p  + ~ c  p ( T  ) d T  ,où  ~ c  p ( T  ) représente la capacité calorifique molaire du gaz, fonction de la température seule. a) La chaleur Q  est-elle une fonction d'état ?b) L'entropie S , définie par d S  = d Q / T  , est-elle une fonction d'état ? Exercice 4. Détermination de l'équation d'état d'un gaz réel  La différentielle de la pression d'un gaz (une mole d’azote entre 0 et 40 atm) est donnée par l'équation :  dp =−  RT V  2 ( 1 + 2  AV   ) dV  +  RV   ( 1 +  AV   ) dT  où  A  est une constante. a) dp  est-elle une différentielle exacte ?b) Déterminer l'équation d'état du gaz dans l'intervalle de pression considéré.c) Considérer le cas particulier des faibles pressions. TD 1 - page 1  Université de Cergy-Pontoise  Année 2016-17  L2S4 - Thermodynamique TD n° 1 Exercice 5. Coefficients thermo-élastiques a) Rappeler la définition du coefficient de dilatation à pression constante a   et du coefficient de compressibilité isotherme  c  .b) Exprimer ces 2 coefficients dans le cas d'un gaz parfait.c) Une mole de gaz carbonique obéit à l'équation de Van der Waals : (  p + aV  − 2 )( V  − b )=  RT  .Exprimer à nouveau les 2 coefficients en fonction de V et T.d) Montrer que pour un fluide quelconque :  a=βc  p . Exercice 6. Coefficients thermo-élastiques et équation d'état a) Montrer que pour une fluide quelconque : ( ∂c∂ T   )  p =− ( ∂a∂  p ) T  b) Des mesures expérimentales ont montré que les coefficients de dilatation isobare et de compressibilité isotherme d'une mole d'un gaz s'expriment, en fonction des variables  p et T  , par les équations suivantes : a=  R RT  + bp  et c=  RT  p (  RT  + bp )  où  R  et b  sont des constantes. Montrer que la relation de la question a) est bien vérifiée.c) Trouver l'équation d'état d'une mole de ce gaz. Exercice 7. Coefficients de dilatation linéaire d'un solide Soit a  ℓ   le coefficient de dilatation linéaire à pression constante d'un solide rectangulaire de côtés a , b et d'épaisseur e . Une augmentation D T   de sa température entraîne des variations D a , D b et D e de ses dimensions. a) Exprimer l'augmentation de volume   D V   lorsque D a , D b et D e sont petits devant a , b  et e .b) Quelle est la relation entre a  ℓ   et le coefficient de dilatation à pression constante a   ? Exercice 8. Exemples de diagrammes (pV, p) expérimentaux  a) Déterminer  R  la constante des gaz (en unité du système international S.I.).b) Commenter ces résultats expérimentaux. TD 1 - page 2
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