Luận văn: Tính chất của môđun đối đồng điều địa phương, HOT

Please download to get full document.

View again

All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
 2
 
  Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Share
Transcript
  • 1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Minh Đức MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
  • 2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Minh Đức MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN Chuyên ngành : Đại số và Lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
  • 3. LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành chương trình cao học và viết luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, sự động viên và giúp đỡ từ gia đình và bạn bè. Trước hết, Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Trần Tuấn Nam. Thầy đã quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn để giúp tôi hoàn thành luận văn thạc sĩ. Thầy đã hướng dẫn tôi từ khi làm luận văn Đại học, nhiệt tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian học cao học và hoàn thành luận văn Thạc sĩ này Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã dạy bảo tôi trong suốt quá trình học tập. Tôi xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi Xuân Hải đã tận tình dạy bảo và cho tôi nhiều kiến thức về Đại Số cũng như kiến thức về học tập. Xin cảm ơn các bạn học trong lớp Đại số K21 cũng như các bạn bè và người thân đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tôi. Gia đình tôi luôn là nguồn động viên tinh thần to lớn giúp tôi hoàn thành khóa học và luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2012 TRẦN MINH ĐỨC
  • 4. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 1 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................................ 3 1.1. Một số bổ đề và định nghĩa ................................................................................. 3 1.2. Bao nội xạ và phép giải nội xạ tối tiểu................................................................ 4 1.3. Dãy chính quy – độ sâu....................................................................................... 5 1.4. Số chiều – hệ tham số.......................................................................................... 6 1.5 . Giới hạn thuận .................................................................................................... 7 1.6. Hàm tử dẫn xuất phải .......................................................................................... 9 1.7. Dãy phổ ............................................................................................................. 10 1.8. Môđun đối đồng điều địa phương ..................................................................... 13 Chương 2: MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN......................................................................................................................... 16 2.1. Hàm tử đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan..................................... 16 2.2. Môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan và phức Cech............... 27 2.3. Liên hệ giữa môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan và môđun đối đồng điều địa phương......................................................................................... 34 2.4. Tính chất triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan ................................................................................................... 38 KẾT LUẬN................................................................................................................. 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 44
  • 5. 1 MỞ ĐẦU Đối đồng điều địa phương là lý thuyết tối cần thiết và là một công cụ quan trọng trong đại số giao hoán và hình học đại số. Trong luận văn này, tôi sẽ trình bày định nghĩa và các tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan (I, J), đây là một khái niệm tổng quát hơn khái niệm môđun đối đồng điều địa phương theo một iđêan I. Trong cả luận văn này, ta giả thiết R là vành Nơte giao hoán và cho I, J là hai iđêan của R. Ta định nghĩa được hàm tử (I, J)-xoắn , : Mod ModI J R RΓ → là mở rộng của hàm tử I-xoắn IΓ . Hơn nữa vì tính khớp trái của hàm tử ,I JΓ (Bổ đề (2.1.3)), với mọi số tự nhiên i ta lấy dãy hàm tử dẫn xuất phải thứ i của ,I JΓ chính là , i I JH - đây chính là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan (I, J). Một khái niệm quan trọng được xem xét trong luận văn chính là tập: { }W( , ) ( ) , 1n I J Spec R I J n=∈ ⊆ p | p+ đây là tập hợp con của ( )Spec R (xem định nghĩa (2.1.6)), mệnh đề (2.1.8) chỉ ra rằng một R-môđun M là (I, J)-xoắn khi và chỉ khi Supp W( , )M I J⊆ . Ta cũng lưu ý rằng khi 0J = thì hàm tử , i I JH lại trở thành hàm tử đối đồng điều địa phương i IH và tập W( , )I J lại trở thành tập ( )V I , nên có thể thấy W( , )I J là mở rộng của ( )V I tương ứng theo một cặp iđêan (I, J). Luận văn được trình bày thành hai chương. Trong chương một tôi sẽ trình bày mà không chứng minh một số kiến thức về đại số giao hoán, đối đồng điều địa phương theo một iđêan để chuẩn bị cho độc giả đọc chương hai. Độc giả có thể bỏ qua chương một để đọc thẳng chương hai, phần chính của luận văn, trình
  • 6. 2 bày tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan. Cụ thể như sau: Trong phần (2.1) của chương hai tôi sẽ trình bày định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan, định nghĩa tập W( , )I J và đưa ra một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan. Phần (2.2) trình bày phức Cech suy rộng và đưa ra định nghĩa tương đương của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan qua phức Cech suy rộng (định lý (2.2.4)). Từ đây suy ra được một số hệ quả và tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan. Tới phần (2.3) sẽ là sự liên hệ giữa môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan và môđun đối đồng điều địa phương theo một iđêan. Định lý (2.3.2) cho ta thấy một môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan chính là một giới hạn thuận của những môđun đối đồng điều địa phương theo một iđêan trong tập W( , )I J . Còn nếu ( , )R m là vành địa phương thì ta có , W( , ) ( ) lim ( )I J J I M M ∈ Γ = Γ   m m . Và phần (2.4) chính là phần trung tâm của luận văn, sẽ trình bày các định lý về sự triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan. Đặc biệt định lý (2.4.1) cho ta đẳng thức: ,inf { | ( ) 0} inf {depth | W( , )}i I Ji H M M I J≠= ∈p p đây chính là mở rộng của định lý triệt tiêu và không triệt tiêu của Grothendieck trong trường hợp M là môđun hữu hạn sinh. Mặc dù có nhiều cố gắng trong quá trình làm luận văn nhưng do sự hạn hẹp trong kiến thức và thời gian nên có thể trong luận văn còn nhiều sai sót, rất mong được sự nhận xét và phản hồi của quý thầy cô và các bạn.
  • 7. 3 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này cũng như là trong toàn bộ luận văn khi ta nói đến vành R thì R chính là vành Nơte giao hoán có đơn vị. 1.1. Một số bổ đề và định nghĩa Bổ đề 1.1.1.(Nakayama) Cho R là một vành, M là một R-môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R. Giả sử IM M= , khi đó tồn tại x I∈ sao cho (1 ) 0x M+ =. Nếu R là vành địa phương và I là iđêan thực sự thì ta suy ra 0M = . Bổ đề 1.1.2. (Artin-Rees) Cho R là một vành, M là một R-môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R và N là R-môđun con của M. Khi đó tồn tại số tự nhiên 0n đủ lớn sao cho: 0 0 ( )n n nn I M N I I M N− ∩= ∩ với mọi 0n n≥ . Định nghĩa 1.1.3. Cho M là một R-môđun. Ta định nghĩa các tập hợp con của tập ( )Spec R các iđêan nguyên tố của R sau: Supp { ( ) | 0} As { ( ) | : Ann( )} Min { ( ) | Supp : } M Spec R M s M Spec R x M x M Spec R M =∈ ≠ = ∈ ∃ ∈ = = ∈ ∀ ∈ ⊆ ⇒ pp p p p q q p q = p Tập Supp M được gọi là giá của M, tập Ass M được gọi là tập các iđêan nguyên tố liên kết của M. Tập Min M chính là tập hợp các phần tử tối tiểu của tập Supp M . Mệnh đề 1.1.4. Với mọi R-môđun M ta có bao hàm thức sau: Min As SuppM s M M⊆ ⊆ Định nghĩa 1.1.5. Cho I là một iđêan của R. Ta đặt: ( ) { ( ) | }V I Spec R I=∈ ⊆p p
  • 8. 4 Mệnh đề 1.1.6. Nếu M, N là các R-môđun hữu hạn sinh thì ta có: Supp ( ( )) Supp Supp Supp M V Ann M M N M N = ⊗= ∩ Mệnh đề 1.1.7. Cho dãy khớp các R-đồng cấu: 0 0L M N→ → → → Thì ta có: As As As Supp Supp Supp s M s L s N M L N ⊆ ∪ = ∪ 1.2. Bao nội xạ và phép giải nội xạ tối tiểu Định nghĩa 1.2.1. Cho 0 M N≠ ⊆ là các R-môđun. Môđun N được gọi là mở rộng thiết yếu của M nếu với mọi môđun 0 'N N≠ ⊆ ta đều có: ' 0N M∩ ≠ . Định lý-Định nghĩa 1.2.2. Cho M là một R-môđun. Khi đó tồn tại duy nhất (sai khác một đẳng cấu) R-môđun nội xạ E là mở rộng thiết yếu của M. Ta gọi E là bao nội xạ của M và ký hiệu ( )E E M= . Định nghĩa 1.2.3. Một R-môđun 0M ≠ được gọi là môđun không phân tích được nếu M không là tổng trực tiếp của hai môđun con thực sự. Định lý 1.2.4. (Matlis) Cho E là một R-môđun nội xạ thì ta có: i. Tồn tại duy nhất một cách phân tích: i i I E E ∈ = ⊕ trong đó mỗi iE là môđun nội xạ không phân tích được. ii. Nếu E là môđun nội xạ không phân tích được thì tồn tại ( )Spec R∈p sao cho ( / )E E R= p . Ngược lại ( / )E R p là môđun nội xạ không phân tích được với mọi ( )Spec R∈p . Mệnh đề 1.2.5. Cho vành R, p là một iđêan nguyên tố của R, M là một R- môđun. Khi đó ta có:
  • 9. 5 i. ( / )E R p là hạng tử trực tiếp của ( )E M khi và chỉ khi As ( )s M∈p . ii. { }As ( ( / ))s E R =p p . Định nghĩa 1.2.6. Cho M là một R-môđun, phép giải nội xạ tối tiểu của M là một phép giải nội xạ của M: 0 1 0 1 2 0 .....d d M E E Eε → → → → → trong đó 0 1 2 1 ( ), (coker ), (coker ),....E E M E E E E dε= = = Mỗi phép giải nội xạ tối tiểu là duy nhất (sai khác nhau một đẳng cấu). Theo định lý về phân tích môđun nội xạ ta có: ( , ) ( ) ( / ) i Mi Spec R E E R µ ∈ = ⊕ p p p Trong đó ( , )i Mµ p là số bản sao của ( / )E R p trong tổng trực tiếp, ta gọi ( , )i Mµ p là số Bass thứ i của M theo p. Định lý 1.2.7.(Bass) Cho ( )Spec R∈p , ( ) R k R = p p p p và M là một R-môđun. Khi đó ta có: ( ) ( )( , ) dim Ext ( ( ), ) dim (Ext ( / , ))i i i k R k RM k M R Mµ= =pp p p pp p p 1.3. Dãy chính quy – độ sâu Định nghĩa 1.3.1. Cho M là một R-môđun. Dãy các phần tử 1 2, ,...., nx x x trong R được gọi là dãy M- chính quy nếu 1 2( , ,...., )nx x x M M≠ và ix không là ước của không trong 1 2 1( , ,...., )i M x x x M− với mọi 1,2,...i n= . Định nghĩa 1.3.2. Cho M là một R-môđun và I là một iđêan của Rthỏa mãn IM M≠ . Ta định nghĩa độ sâu của M trong I là:
  • 10. 6 { }1depth ( , ) sup | ( ,..., )R nI M n x x M I= laø daõy -chính quy trong Nếu ( , )R m là vành địa phương thì ta ký hiệu: depth : depth ( , )R RM M= m Định lý 1.3.3. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của R thỏa mãn IM M≠ . Ta có: depth ( , ) inf{ | Ext ( / , ) 0} inf{depth | ( )} i R R R I M i R I M M V I = ≠ = ∈p p p Mệnh đề 1.3.4. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của R thỏa mãn IM M≠ . Ta có: depth inf{ | ( , ) 0}R iM i Mµ= ≠p p p . 1.4. Số chiều – hệ tham số Định nghĩa 1.4.1. Cho vành R. Số chiều của R, ký hiệu dim(R) chính là supremum của độ dài những dây chuyền (nghiêm ngặt) các iđêan nguyên tố trong R: 0 1dim sup{ | .... , ( ) 0,1,..., }n iR n Spec R i n= ∃ ⊂ ⊂ ⊂ ∈ ∀=p p p p Cho M là một R-môđun thì số chiều của M chính là supremum của độ dài những dây chuyền (nghiêm ngặt) các iđêan nguyên tố trong Supp(M): 0 1dim sup{ | .... , Supp(M), 0,1,..., }n iM n i n= ∃ ⊂ ⊂ ⊂ ∈ ∀=p p p p Nếu M = 0 ta đặt dim M= –1. Mệnh đề 1.4.2. Cho M, N là các R-môđun hữu hạn sinh.Ta có dim dim( / Ann( )) dim( ) dim / (Ann( ) Ann( )) M R M M N R M N = ⊗= + Định nghĩa 1.4.3. Cho ( , )R m là vành địa phương, M là một R-môđun hữu hạn sinh. Đặt 1 2 1d inf{ | , ,...., : ( / ( ,..., ) ) { }},n nn x x x Supp M x x M= ∃ ∈ =m m dãy
  • 11. 7 1 2, ,...., dx x x ngắn nhất các phần tử trong m thỏa 1( / ( ,..., ) ) { }dSupp M x x M = m được gọi là một hệ tham số của M. Mệnh đề 1.4.4. Cho ( , )R m là vành địa phương, M là một R-môđun hữu hạn sinh. Dãy 1 2, ,...., dx x x là một hệ tham số của M khi và chỉ khi nó là dãy ngắn nhất các phần tử trong m thỏa mãn 1 2( , ,...., ) Ann( )dx x x M+ là iđêan m -nguyên sơ. Định lý 1.4.5. Cho ( , )R m là vành địa phương, 0M ≠ là R-môđun hữu hạn sinh, d( )M là độ dài của hệ tham số của M. Khi đó ta có: d( ) dimM M= Mệnh đề 1.4.6. Cho( , )R m là vành địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh. Một dãy M-chính quy có thể mở rộng thànhmột hệ tham số của M. Từ đây ta suy radepth dimM M≤ . Mệnh đề 1.4.7. Cho ( , )R m là vành địa phương và 1 2, ,...., nx x x là một dãy trong m , M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có: 1 dim dim ( ,.., )n M M n x x M ≥ − . dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2, ,...., nx x x là một bộ phận của hệ tham số của M. 1.5 . Giới hạn thuận Định nghĩa 1.5.1. Cho R là một vành, ( , )I ≤ là một tập được sắp thứ tự bộ phận. Một hệ thuận trong phạm trù các R-môđun là: (( ) ,( ) )i i i I j i jM ψ∈ ≤ , trong đó ( )i i IM ∈ là một họ các R-môđun, ( : )i j i j i jM Mψ ≤→ là họ các R-đồng cấu sao cho Id i i i Mψ = với mọi i I∈ và biểu đồ sau đây là giao hoán với mọi i j k≤ ≤ .
  • 12. 8 i j i j k k i j k M M M ψ ψ ψ → Định nghĩa 1.5.2. Cho (( ) ,( ) )i i i I j i jM ψ∈ ≤ là một hệ thuận trong phạm trù các R- môđun. Khi đó tồn tại một R-môđun lim i i I M ∈  và họ các đồng cấu ( : lim )i i i i I i I M Mα ∈ ∈ →  sao cho: i. i j j iα ψ α= với mọi i j≤ . ii. Cho N là một R-môđun, và họ các đồng cấu :i if M N→ thỏa mãn i j j if fψ = với mọi i j≤ . Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu :lim i i I M Nθ ∈ → sao cho biểu đồ sau là giao hoán với mọi i I∈ : lim i i f i i i I M N M α θ ∈ →  lim i i I M ∈  được gọi là giới hạn thuận của hệ thuận (( ) ,( ) )i i I j i jM ϕ∈ ≤ . Định nghĩa 1.5.3. Tập sắp thứ tự ( , )I ≤ được gọi là tập trực tiếp nếu với mọi ,i j I∈ tồn tại k I∈ sao cho i k≤ và j k≤ . Mệnh đề 1.5.4. Cho (( ) ,( ) )i i i I j i jM ψ∈ ≤ là một hệ thuận trong phạm trù các R- môđun, ( , )I ≤ là tập trực tiếp, :i j i jM Mψ → là các phép nhúng với mọi i j≤ . Nếu ta đặt: ii I M M∈ =  và xét họ các ánh xạ nhúng ( : )i i i IM Mα ∈→ . Khi đó M chính là giới hạn thuận của (( ) ,( ) )i i I j i jM ψ∈ ≤ .
  • 13. 9 Định lý 1.5.5. Giới hạn thuận là giao hoán với tích tenxơ. Nếu(( ) ,( ) )i i i I j i jM ψ∈ ≤ là một hệ thuận, N là một R-môđun thì ta có đẳng cấu tự nhiên sau: (lim ) lim( )i i i I i I M N M N ∈ ∈ ⊗ ≅ ⊗  Mệnh đề 1.5.6. Giới hạn thuận là bảo toàn tính khớp. Cụ thể, nếu I là tập trực tiếp và { , }i i jL α , { , }i i jM β ,{ , }i i jN γ là các hệ thuận các R-môđun trên I. Xét họ các đồng cấu ( : )i i ir L M→ và ( : )i i is M N→ sao cho với mỗi i I∈ thì dãy sau đây là dãy khớp: 0 0i i iL N M→ → → → Thì ta sẽ có dãy khớp sau đây: 0 lim lim lim 0i i i i I i I i I L N M ∈ ∈ ∈ → → → →   Mệnh đề 1.5.7.Trên vành Nơte, giới hạn thuận của những môđun nội xạ là một môđun nội xạ. 1.6. Hàm tử dẫn xuất phải Định nghĩa 1.6.1. Cho :T →  là hàm tử cộng tính hiệp biến,  và  là hai phạm trù Abel trong đó  là đủ nội xạ. Ta định nghĩa hàm tử dẫn xuất phải :n R T → với mỗi 0n ≥ như sau: Với mỗi vật B ta chọn một phép giải nội xạ ( )B• E : 0 1 0 1 2 0 ....d d E E E→ → → → Tác động hàm tử T vào phép giải, sau đó lấy đối đồng điều thứ n: 1 Ker ( ) : ( ( ( )) Im n n n n Td R T B H T B Td • − = =E
  • 14. 10 Định nghĩa này là tốt, không phụ thuộc vào cách chọn phép giải nội xạ. Định lý 1.6.2. Cho :T →  là hàm tử cộng tính hiệp biến và khớp trái,  và  là hai phạm trù Abel trong đó  là đủ nội xạ. Dãy 0( )n nR T ≥ là dãy hàm tử dẫn xuất phải của T khi và chỉ khi thỏa mãn: i. Có đẳng cấu tự nhiên giữa hai hàm tử: 0 R T T≅ . ii. Với mọi E là vật nội xạ trong  , ta đều có: ( ) 0n R T E = với mọi 1n ≥ . iii. Với mọi dãy khớp trong  :0 0L M N→ → → → ta có dãy khớp dài với đồng cấu nối tự nhiên: 0 0 0 1 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .... .... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....n n n n n R T L R T M R T N R T L R T M R T N R T L R T M R T N R T L− + → → → → → → → → → → → → 1.7. Dãy phổ Định nghĩa 1.7.1. Một môđun song phân bậc là một họ các R-môđun: ( ), ( , )p q p q M M ∈ × =   Nếu M, N là các môđun song phân bậc, một đồng cấu song phân bậc :f M N→ có bậc là (a, b) là một họ các đồng cấu: , , ,( : )p q p q p a q bf f M M + += → . Bậc của f được ký hiệu là: deg( ) ( , )f a b= . Nếu ta có đồng cấu song phân bậc :f M N→ với deg( ) ( , )f a b= thì ta định nghĩa , ,Im (Im ) ( )p a q b p qf f N− −= ⊆ , , ,er ( er ) ( )p q p qK f K f M= ⊆ Cho dãy các đồng cấu song phân bậc f g M N P→ → , dãy này được gọi là khớp nếu Im f Ker g= . Từ đây, nếu loại bỏ q thì ta định nghĩa được môđun phân bậc và đồng cấu phân bậc một cách tương tự.
  • 15. 11 Định nghĩa 1.7.2. Một lọc của một R-môđun M là một họ ( )p pM ∈ các R-môđun con của M thỏa mãn 1p pM M +⊆ với mọi p: 1 1... ...p p pM M M− +⊆ ⊆ ⊆ ⊆ Cho C là một phức, một lọc của Clà họ các phức con ( )p pF ∈C  của C thỏa mãn 1p pF F +⊆C C với mọi p: 1 1... ...p p pF F F− +⊆ ⊆ ⊆ ⊆C C C Định nghĩa 1.7.3. Cho ( , )M d , trong đó M là một môđun song phân bậc, d là một đồng cấu song phân bậc có bậc là (a, b) thỏa mãn . 0d d = . Khi đó ta định nghĩa được đồng điều ( , )H M d là một môđun song phân bậc với: , , , er ( , ) Im p q p q p a q b K d H M d d − − = Định nghĩa 1.7.4. Một dãy phổ là một dãy 1( , )r r rE d ≥ trong đó r E là các môđun song phân bậc, thỏa mãn 0r r d d = và 1 ( )r r E H E+ = với mọi 1r ≥ . Nếu 1( , )r r rE d ≥ là một dãy phổ, ta có 2 1 1 2 2 ( , ) /E H E d Z B= = trong đó 2 Z là chu trình và 2 B là bờ với 2 2 1 B Z E⊆ ⊆ . Lại có 3 3 2 3 2 2 2 2 ( / ) / ( / ) ( / , )E Z B B B H Z B d= = (ta có thể xem 3 3 3 /E Z B= ) với 2 3 3 2 1 B B Z Z E⊆ ⊆ ⊆ ⊆ . Vậy nếu ta quy nạp theo r thì ta có /r r r E Z B= với: 2 3 3 2 1 ... .....r r B B B Z Z Z E⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ (*) Định nghĩa 1.7.5. Cho 1( , )r r rE d ≥ là một dãy phổ, họ 1( , )r r rZ B ≥ được cho như trên thỏa mãn (*), đặt 1 r r Z Z∞ ≥ =  và 1 r r B B∞ ≥ =  . Ta định nghĩa giới hạn của dãy phổ là môđun song phân bậc E∞ được định nghĩa bởi: , , ,/p q p q p qE Z B∞ ∞ ∞ =
  • 16. 12 Định nghĩa 1.7.6. Cho ( )p pF ∈C  là lọc của phức Cvà họ phép nhúng :p p i F → C . Từ đây cảm sinh ra * : ( ) ( )p p i H F H• •→ C . Ta định nghĩa lọc cảm sinh của ( )nH C : *( ) Imp p nH iΦ =C Nếu với mỗi n tồn tại svà t sao cho {0}s nHΦ =và t n nH HΦ = thì ta nói lọc ( )p nHΦ là bị chặn. Khi đó ta có dây chuyền sau với mỗi n. 1 {0}= ......s s t n n n nH H H H+ Φ ⊆ Φ ⊆ ⊆ Φ = Định nghĩa 1.7.7. Một dãy phổ 1( , )r r rE d ≥ được gọi là hội tụ đến một môđun phân bậc H: 2 ,p q p qE H +⇒ nếu có một lọc bị chặn ( )p p qH +Φ của H sao cho: 1. p p q pp q p q H E H ∞ + − + Φ ≅ Φ . Định nghĩa 1.7.8. Dãy phổ 1( , )r r rE d ≥ được gọi là suy biến theo trục p nếu 2 , {0}p qE = với mọi 0q ≠ . Dãy phổ 1( , )r r rE d ≥ được gọi là suy biến theo trục q nếu 2 , {0}p qE = với mọi 0p ≠ . Định nghĩa 1.7.9: Dãy phổ 1( , )r r rE d ≥ được gọi là dãy phổ góc phần tư thứ ba nếu , {0}p q rE = với mọi 0p > hoặc 0q > . Mệnh đề 1.7.10.Cho dãy phổ 1( , )r r rE d ≥ góc phần tư thứ ba hội tụ , 2 p q p q E H + ⇒ . i. Nếu dãy phổ suy biến theo trục p, ta có: ,0 2 n n H E≅ . ii. Nếu dãy phổ suy biến theo trục q, ta có: 0, 2 n n H E≅ .
  • 17. 13 Định nghĩa 1.7.11. Cho  là một phạm trù Abel đủ nội xạ, :F b→  là hàm tử cộng tính. Một vật B của  được gọi là F-tuần hoàn phải nếu ( ) {0}p R F B = với mọi 1p ≥ . Định lý 1.7.12.(Grothendieck) Cho G F → →   là các hàm tử hiệp biến, cộng tính , ,   là các phạm trù Abel đủ nội xạ. Giả sử F là khớp trái và GE là tuần hoàn phải với mọi vật nội xạ E trong  . Khi đó với mọi vật A trong  , ta có dãy phổ góc phần tư thứ ba sau: , 2 ( )( ) ( )p q p q p q E R F R G A R FG A+ = ⇒ 1.8. Môđun đối đồng điều địa phương Định nghĩa 1.8.1. Cho R là vành, I là
  • Related Search
    Similar documents
    View more
    We Need Your Support
    Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

    Thanks to everyone for your continued support.

    No, Thanks
    SAVE OUR EARTH

    We need your sign to support Project to invent "SMART AND CONTROLLABLE REFLECTIVE BALLOONS" to cover the Sun and Save Our Earth.

    More details...

    Sign Now!

    We are very appreciated for your Prompt Action!

    x