Les modèles mathématiques de l’expression chez Leibniz

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  28 octobre 2010  Journée Nanterre L’expression et ses modèles mathématiques1/11 L’expression et ses modèles mathématiques Introduction La notion d’expression est communément définie comme « analogie de rapports » ainsi que la présente le  Quid sit idea   de 1678. Alors fortement connotée dans une dimension mathématique, elle surgit de plus dans le corpus leibnizien au détour de l’année 1673, année des « grandes découvertes » 1  du triangle caractéristique et de la méthode des métamorphoses. En effet, avant son initiation parisienne aux mathématiques en 1672, si des termes proches de la notion d’expression apparaissent dans les textes du jeune Leibniz, tels ceux d’harmonie, de correspondance, d’accord, de série, de lieu, de point de  vue, etc., le terme d’expression quant à lui n’est pas encore employé. En revanche, les textes mathématiques de la période parisienne sont parsemés d’occurrences de ce terme et sont sans doute autant à l’srcine de l’écriture du  Quid sit idea   que la lecture de l’  Éthique   que Leibniz a faite alors. Il semble donc que l’srcine de la notion d’expression soit bien mathématique. À quoi s’ajoutent les illustrations mathématiques qui jalonnent les textes qui traitent de l’expression monadique : l’exemple de la projection perspective notamment, la métaphore du centre ou encore celle du point de vue, l’emploi de termes à contenu mathématique tels ceux de « loi de série » ou d’« enveloppement », dont la fréquence paraît suggérer que l’acception philosophique de la notion d’expression se résout dans la ou les significations qu’elle prend dans le champ des mathématiques. Peut-on alors affirmer qu’il y a chez Leibniz une application du modèle mathématique d’expression dans le champ métaphysique ? Sans doute. Peut-on alors tirer de cela que la dimension métaphysique de la notion se réduit à sa nature mathématique ? Cela serait évidemment excessif. D’abord, parce que, de façon très générale, ce n’est pas parce qu’une notion trouve son srcine dans un champ disciplinaire qu’elle s’y restreint toujours, comme le montre Michel Serres au § 9 de l’Introduction de son Système de Leibniz et ses modèles mathématiques  2 . Car l’hypothèse d’une fondation de la métaphysique leibnizienne dans sa mathématique ne résiste pas à l’examen du corpus. La notion d’expression n’est en effet explicitée par Leibniz, les rares fois où elle l’est, que dans des 1  J. E. Hofmann, Leibniz in Paris. 1672-1676  , London, Cambridge University Press, 1974. 2  Paris, PUF, 1968, Tome Premier, pages 62-70. Pour Serres, considérer que les mathématiques de Leibniz sont un « modèle » pour sa métaphysique ne signifie pas que sa métaphysique soit tout entière mathématique. Au contraire, si la mathématique leibnizienne est un modèle de la métaphysique, en tant qu’elle est une « image simple » (page 69) de la « complexité du réel ou de l’intelligible » (page 63), elle est aussi un modèle « affaibli par l’incomplétude des notions » (page 64). Un modèle imparfait mais systématique qui, en vertu de sa systématicité même, est « partout dense dans le système général » dont il « constitue une “partie totale” », dont il est « une région, mais une région systématisée comme le tout : c’est-à-dire qui peut aussi bien le systématiser qu’être systématisée par lui » (page 70). Ainsi mathématique et métaphysique se trouvent-elles unies dans la congruence de leurs systèmes : elles se correspondent, l’une abstraite, l’autre concrète, dans une analogie qu’il est alors possible et même souhaitable de préciser.  28 octobre 2010  Journée Nanterre L’expression et ses modèles mathématiques2/11 textes qui traitent des questions philosophiques des fondements de la connaissance humaine, de l’union de l’âme et du corps ou de la nature de la création divine. Dans ces contextes métaphysiques, la notion apparaît alors comme plus fondamentale puisqu’il est besoin d’en développer et éclairer la nature, alors que dans le champ des mathématiques, la clarté et l’efficacité des méthodes la mettant en œuvre semblent suffire à justifier son usage sans requérir l’élucidation de sa signification. Faut-il alors aller jusqu’à l’idée, comme le fait Gilles-Gaston Granger dans son article de 1981, « Philosophie et mathématiques leibniziennes » 3 , que la mathématique leibnizienne est fondée dans sa métaphysique ? 4  Il ne s’agit certes pas de discuter ici la démonstration de Granger, ni de la confronter avec la thèse de Serres. Mais il s’agit de révéler combien il est difficile de décider si et quand les mathématiques leibniziennes commandent sa philosophie, si et quand sa métaphysique détermine ses inventions mathématiques, si et quand elles sont à ce point intriquées qu’elles ne se distinguent pas aisément. Aussi n’est-ce pas cette question de la légitimité de la modélisation mathématique de la métaphysique leibnizienne que nous allons traiter, mais celle plus modeste car plus particulière et moins fondamentale des apports conceptuels des travaux mathématiques pour saisir la notion d’expression en tant qu’elle est bien souvent illustrée, imagée, explicitée, exprimée par le biais d’éléments mathématiques  . Et, ce faisant, nous ne pourrons faire autrement que conclure en posant la question de l’éventuel débordement des concepts mathématiques par les thématiques métaphysiques de la création divine et de la monadologie, de l’éventuelle insuffisance de l’explicitation de l’expression en termes d’« analogie de rapports » pour une saisie pleine de l’expression intra- et inter-monadique.  Tout d’abord, nous allons nous efforcer de présenter ce que les travaux mathématiques élaborés entre 1672 et 1679, assez tôt par conséquent dans la pensée leibnizienne, mais employés dans les textes philosophiques contemporains et postérieurs, permettent de penser de la notion d’expression. Il s’agit d’abord de la projection perspective, exemple souvent considéré comme un paradigme de la notion d’expression : une chose en exprime une autre comme les sections coniques expriment le cercle dont elles sont les projetées perspectives. Ensuite, l’évocation d’une « loi de série » pour rendre compte de la monade relativement à son activité expressive renvoie aux travaux de Leibniz sur les séries, notamment infinies, qui initient sa quadrature du cercle et participent à la constitution de son calcul différentiel. Ces différentielles, d’ailleurs, portent en elles quelques-uns des éléments métaphysiques de l’expression monadique conçue comme représentation repliée mais dynamique du monde, comme « miroir vivant de l’univers ». Enfin, la fréquence de l’image du « point de vue » de la monade ne convoque pas seulement le modèle perspectif, mais aussi cette géométrie novatrice initiée en 1677 et développée dès 1679 de l’  Analysis situs  , comme géométrie des relations de situations mutuelles qui résonne avec la forme entr’expressive du monde leibnizien. 3  Repris dans Formes, opérations, objets  , Paris, Vrin, 1994, pages 199-240. 4  Granger affirme qu’il existe chez Leibniz une forme d’exception qui en fait « l’un des très rares exemples d’une création mathématique qui, authentiquement novatrice sur bien des points, est associée dès son srcine et tout au long de son histoire à des vues logiques et métaphysiques où elle trouve son impulsion initiale et l’orientation de son mouvement », ibid. , page 199-200.  28 octobre 2010  Journée Nanterre L’expression et ses modèles mathématiques3/11 1. Le modèle perspectif Commençons par l’important modèle perspectif, par lequel Leibniz illustre bien souvent l’expression de l’univers par la monade, mais aussi de façon générale l’expression d’une chose par une autre. Ce modèle relève de la méthode projective telle qu’elle est à l’œuvre dans la géométrie des sections coniques. Le cône est déterminé par un point fixe, son sommet, et par un cercle à l’infini, le cercle générateur. Les sections coniques sont les figures obtenues par la projection de ce cercle sur un plan qui « coupe » le cône. Si le plan de projection est perpendiculaire à l’axe du cône, alors la figure obtenue est un cercle à distance finie du sommet, qui est le projeté du cercle à l’infini. Si le plan passe par le sommet sans rencontrer le cône, on obtient un point, sinon on obtient un angle. S’il est tangent au cône, on obtient une droite. S’il est parallèle à deux génératrices du cône (droite passant par le sommet du cône et par un point du cercle à l’infini), on obtient un hyperbole. S’il est parallèle à une génératrice, on obtient une parabole. Enfin, dans tous les autres cas, on obtient une ellipse. Initiée par les peintres et sculpteurs du Quattrocento, la perspective est d’abord une pratique qui se trouve devenir une méthode géométrique grâce aux travaux, entre autres, d’Abraham Bosse, Philippe de la Hire, Girard Desargues et Pascal. Leibniz prend connaissance de ces travaux, notamment du Brouillon project   de 1636 de Desargues et du Traité sur les coniques   de 1654 de Pascal 5 . La particularité qui nous contraint à passer par la présentation des travaux de Pascal et Desargues est que Leibniz lui-même ne produit rien sur ce sujet. Pourtant, la prégnance de ce modèle le fait à bon droit apparaître comme ce paradigme singulier de la notion d’expression qu’analysent dans leurs articles importants Mark A. Kulstad et Chris Swoyer 6 . Quels sont alors les éléments de ce modèle qui jouent dans la conception de la notion ? Kulstad et Swoyer divergent dans leurs interprétations : pour Kulstad, une chose en exprime une autre lorsqu’il existe une fonction de la chose exprimant dans la chose exprimée, qui fait qu’à tout élément de la chose exprimant, on peut rapporter un et un seul élément de la chose exprimée. Cette vision qu’on peut appeler « ensembliste » se distingue de la vision plus « relationnelle » de Swoyer, pour qui une chose en exprime une autre, parce qu’il existe entre ces deux choses une « relation de corrélation », par laquelle des structures de la chose exprimée sont préservées dans la chose exprimant. Ces différences recouvrent d’une certaine manière les différentes conceptions de la nature et de la genèse des sections coniques chez Desargues et Pascal. Le Brouillon project   de Desargues présente deux innovations majeures. La première est l’absence de différence spécifique entre les droites parallèles et les droites concourantes, toutes définies par leur point de concours, selon qu’il se trouve à l’infini ou à distance finie. Ceci d’ailleurs convient avec les règles de la représentation perspective dans laquelle des droites parallèles sont représentées comme des droites concourantes sur le tableau, pourvu que le tableau ne leur soit pas parallèle. La seconde innovation consiste en la considération des différentes coniques comme des sections d’un rouleau (cône dont le sommet est à distance infinie), de sorte qu’elles ne se distinguent plus en genre les unes des autres et doivent, de ce fait, pouvoir faire l’objet d’une méthode de connaissance une et simplifiée, puisque toute propriété démontrée pour 5  En 1676, Leibniz en copie la première partie, la Génération des sections coniques  , unique trace de ce texte. 6  Mark A. Kulstad, « Leibniz’s conception of expression, Studia Leibnitiana  , 9/1, 1977, pages 55-76. Chris Swoyer, « Leibnizian expression »,  Journal of the History of Philosophy  , 33/1, 1995, pages 65-99.  28 octobre 2010  Journée Nanterre L’expression et ses modèles mathématiques4/11 une conique le sera pour toutes les autres. Il ne s’agit évidemment pas de n’importe quelle propriété, mais de ce que les mathématiciens nomment une propriété projective, c’est-à-dire une propriété invariante par projection perspective. En l’occurrence, chez Desargues, il s’agit des propriétés dérivant de la relation d’involution, c’est-à-dire relatives aux pôles et aux polaires, et donc aux tangentes. 7  Dans ces conditions, il suffit alors de démontrer ces propriétés pour le cercle, figure simple, pour qu’elles soient également vraies pour l’ensemble de toutes les autres coniques. Les travaux de Pascal sont largement inspirés de ceux de Desargues auquel il reprend les points à l’infini et l’identification des droites parallèles avec les droites concourantes. Leur différence consiste en la façon de considérer le cône et ses modalités d’invariance. En effet, Pascal se concentre sur la relation d’incidence qui existe entre les droites génératrices du cône et les points du cercle générateur. Alors, toute section conique est considérée, non comme la coupe du rouleau arguésien, mais comme la figure constituée par l’ensemble des points de rencontre de chacune des génératrices avec le plan de projection. Dans une telle conception, lorsque le plan de projection est parallèle à une des génératrices, le point de rencontre est considéré comme étant à l’infini. L’existence de ces points à l’infini permet donc d’affirmer, dans tous les cas, l’invariance par projection perspective de l’incidence droite-conique et de ce fait l’invariance de la propriété pour une droite d’être tangente à une conique, éventuellement à un point à l’infini. Mais, surtout, la conception pascalienne de la projection perspective fait apparaître une sorte de continuité entre les coniques qui sont toutes les effets d’une seule et même transformation ponctuelle, continuité qui fonde alors la légitimité d’un traité des coniques unifié. Leibniz saisit avec l’acuité qui lui est ordinaire l’importance de cette conception pascalienne comme figures transformées selon une modalité continue qui fait que certaines sections coniques sont les cas-limites des autres. Elles sont toutes obtenues par l’inclinaison continue du plan de projection, de sorte que quand ce plan est parallèle à deux génératrices très proches, on a encore une hyperbole qui devient une parabole quand ces deux génératrices sont infiniment proches. Cette possibilité d’un passage à la limite témoigne à la fois de l’identité de nature des coniques, produites par une même loi, et de leur infinie multiplicité, relative à la variation de l’inclinaison, au « point de vue », produisant ainsi une infinité de projections. De plus, Leibniz trouve exemplaire la façon dont la connaissance peut être unifiée dans une conception des coniques qui les fait varier en même temps qu’elle les rend congruentes. En effet, la fixité du sommet du cône et l’unicité du cercle générateur à l’infini produisent les conditions de possibilité d’une comparaison des coniques entre elles, par la préservation de structures invariantes par projection. Au-delà des promesses heuristiques d’une telle méthode, ce qui ressort est cette idée d’une préservation d’un ordre commun au cœur d’éléments assez différents tels une ellipse, un angle rectiligne ou une parabole. Ici, c’est l’influence de Desargues et la lettre même de son Brouillon project dans lequel le terme de « correspondance » apparaît qui se manifestent. L’idée d’un rapport entre des rapports, rapport réglé par une certaine loi de transformation, surgit 7  On appelle birapport   (ABCD) de quatre points alignés A, B, C, D : DBDACBCABCBD AD AC ) ABCD(   ÷=×= . La relation d’involution se définit - soit pour six points alignés : on dit que A, B, C, D, E, F sont en involution si (ABCD)=(ABEF) ; - soit pour quatre points alignés : si (ABCD)=-1, les points A, B, C, D sont en involution et on dit qu’ils sont en « division harmonique ».  28 octobre 2010  Journée Nanterre L’expression et ses modèles mathématiques5/11 donc au cœur de la géométrie projective et produit ce modèle par lequel Leibniz explicite comment une chose en exprime une autre ainsi que l’ellipse exprime le cercle. 2. Les séries infinies et les différentielles  Avant d’aller plus loin dans l’analyse des apports du modèle perspectif pour penser l’expression, nous allons présenter maintenant ces deux éléments mathématiques étroitement mêlés que sont les séries infinies et les différentielles. Cette fois-ci, Leibniz est largement acteur de ses conceptions, comme en témoigne le texte rétrospectif de l’ Historia et srco calculi differentialis  8  . Il ne s’agit pas de retracer la genèse qui conduit Leibniz à cette invention géniale des calculs infinitésimal et intégral. Ce qui nous intéresse est la façon dont Leibniz décrit les séries infinies, et notamment ce qu’il en dit quand il affirme au moment de sa quadrature du cercle que la série infinie 1-1/3+1/5-1/7+… « exprime exactement » la grandeur finie π /4. Car, pour Leibniz, les conditions de possibilité pour une expression infinie d’exprimer exactement une grandeur finie sont aussi les conditions qui fondent la perfection d’une telle expression. Et, en raison de l’srcine mathématique de la notion, de telles conditions contiennent en elles quelque chose de ce qui détermine la nature même de l’expression en général. À partir de là, nous tâcherons de saisir la nature spécifique de la différentielle « dx », autre sorte d’infinité qui exprime aussi toujours quelque chose de fini ou plutôt d’assignable. 9  Ce qui nous paraît significatif, dans les séries en général et dans celle de la quadrature du cercle, est la présence conjointe d’une opération qui va à l’infini et d’une raison qui reste pourtant toujours la même. Cette raison, qui est appelée « le terme général » de la série, dans l’exemple de la série qui exprime π /4, c’est-à-dire ∑ ∞=  + − 0k   12k  1)(  k  , est le terme formulé comme 1k 2 )1(  k  + − . C’est parce que sa quadrature du cercle fait apparaître un tel terme, rationnel et simple, que Leibniz en est satisfait : l’expression en est exacte parce que la raison de la série est connue avec certitude et facilité, mais surtout connue de façon générale. En effet, l’approximation demeurerait si on ne pouvait jamais connaître les termes de la série que les uns après les autres, que les uns relativement aux autres. En revanche, la « généralité » offre la possibilité de la totalisation de la sommation par laquelle l’expression parvient à l’exactitude. Or, en raison de l’incommensurabilité entre le terme général de la série, rationnel, et π /4, grandeur irrationnelle, la seule notion de proportion ou d’analogie, qui lie toujours en mathématiques des grandeurs homogènes, ne peut pas rendre compte de ce qui fait que l’expression est exacte, parfaite, exemplaire. Qu’est-ce alors que cette expression parfaite, si ce n’est pas la proportion ? Le réponse se trouve dans le second élément caractéristique de la série telle qu’elle s’illustre dans la quadrature du cercle : il s’agit de l’infinité de l’opération de sommation. Cet élément se peut comprendre si on le ramène à cet autre élément éminemment lié à une forme d’infinité qu’est la différentielle. La « raison » de la série infinie est effectivement l’analogue de la « loi de progression », une et pourtant infiniment réitérable, 8  GM V, pages 392-410. 9  Voir La naissance du calcul différentiel. 26 articles des  Acta Eruditorum, Paris, Vrin, 1989 et  Quadrature arithmétique du cercle, de l’ellipse et de l’hyperbole… , Paris, Vrin, 2004.
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