Leibniz : Géométrie et espace

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  Groupe de recherche sur Leibniz 25 janvier 2012 « Leibniz : Géométrie et espace » 1/18 L EIBNIZ  :   G EOMETRIE et ESPACE   Valérie Debuiche – 25 janvier 2012 Il n’est pas ordinaire de parler de « géométrie » chez Leibniz, et encore moins de « géométrie de Leibniz », non dans le sens où cela serait inconvenant, mais dans le sens où la géométrie, en tant que telle, n’est pas souvent envisagée comme un objet de pensée et de recherche proprement leibnizien. Ou plutôt, pour le dire en des termes plus modérés et, donc, plus adéquats, la pensée leibnizienne au sujet de la géométrie est, en général, considérée sous le double prisme, aussi bien éclairant qu’aveuglant, de sa critique de la géométrie algébrique de son époque (celle de Descartes et de Viète notamment) et de son invention d’une analyse infinitésimale qui réduit à sa puissance symbolique et algorithmique toutes sortes de problèmes, dont ceux de la géométrie classique. Le calcul différentiel et son réciproque, le calcul infinitésimal, ont offert l’occasion de quelques-unes des pages les plus importantes du commentaire leibnizien au sujet de la relation entre ses mathématiques et sa métaphysique. L’usage maîtrisé et novateur que Leibniz y fait de l’infini, de la continuité, ou des symboles, fournit évidemment et incontestablement un matériau précieux pour l’analyse de sa philosophie des substances, replis infinitésimaux d’un monde par ailleurs infini, entités dynamiques qui déploient selon une certaine règle et de façon continue les états successifs de leur être et, d’une certaine façon, de l’être du monde. La double mise en abyme d’un monde infini dans des substances infinitésimales ne pouvait en effet être pensée que par un Leibniz-mathématicien, non embarrassé par l’indéfini cartésien et fort du concept de différentielle. De bien des façons, donc, le calcul des infinitésimaux permet à Leibniz de dépasser Descartes, dans sa philosophie, comme dans sa physique ou ses mathématiques. Notamment, il a coutume de déclarer que son Analyse des infinitésimaux lui permet de réussir là où la géométrie cartésienne a échoué, dans le traitement des courbes qu’il appelle « transcendantes » et qui sont exprimables par des équations algébriques, mais de degré indéterminé : 1. « Les Anciens se refusaient en effet à employer des courbes de degré élevé et considéraient comme Mécaniques les solutions fournies par elles. Descartes le leur reprocha, et reçut dans la Géométrie toutes les courbes dont une équation Algébrique, de degré bien déterminé, pût exprimer la nature. Grand bien lui en prit ; mais il retomba dans la même faute en bannissant de la Géométrie, et en décrétant Mécaniques, sous prétexte que naturellement il ne parvenait pas à les réduire en équations exploitables par ses propres procédés, une infinité d’autres courbes, qu’on peut pourtant exprimer tout aussi rigoureusement. Il faut noter qu’en réalité de telles courbes, telle la Cycloïde, la Logarithmique ou autres du même type, dont les applications sont immenses, peuvent également être représentées par un calcul d’équations, et même d’équations finies, non pas Algébriques bien sûr, de degré déterminé, mais de degré indéfini, c’est-à-dire transcendant ; on peut donc les soumettre au calcul aussi bien que les autres, même si le calcul en question n’est pas de même nature que celui couramment pratiqué. » (  De  Groupe de recherche sur Leibniz 25 janvier 2012 « Leibniz : Géométrie et espace » 2/18 dimensionibus figurarum inveniendis ,  A.E.  Mai 1684, in Leibniz,  La naissance du calcul différentiel , Paris, Vrin, 1995, p. 90) Mais la critique cartésienne ne se trouve pas seulement dans les textes qui présentent les avancées du novateur calcul différentiel. On trouve également l’idée d’un dépassement de la géométrie algébrique dans les textes des années 1677-1679, consacrés aux essais de ce que Leibniz nomme alors la « Characteristica Geometrica  » (Voir citation 3.) C’est alors la question des fondements, c’est-à-dire de la détermination des éléments premiers, qui intéresse Leibniz. L’exigence de Caractéristique Universelle n’est pas loin, tant dans l’élaboration d’un alphabet adéquat de la pensée, que dans la mise en place d’un symbolisme qui remplisse les conditions de sa perfection : élégance, aisance et généralité. D’ailleurs, souvent, dans le commentaire des textes de Leibniz sur la Characteristica Geometrica , l’accent est mis sur la relation étroite que l’idée d’une géométrie nouvelle entretient avec l’attrait que Leibniz éprouve pour la géométrie d’Euclide qu’il trouve exemplaire, du point de vue de la méthode du moins. Prise entre sa teneur caractéristique et sa reprise euclidienne, la géométrie leibnizienne ne dévoile pas au premier regard son srcinalité, par rapport aux autres travaux géométriques (de Leibniz lui-même, ou d’Euclide qui en fournit le criterium ) et par rapport aux aspirations caractéristiques qu’elle réalise en partie. Elle révèle encore moins son rapport avec la métaphysique leibnizienne. Pourtant, à ces deux égards, la Characteristica Geometrica , encore appelée  Analysis Situs , Geometria Situs ,  Analysis Geometrica , etc. présente des éléments considérables, tant pour l’historien des mathématiques que pour le philosophe des mathématiques et l’historien de la philosophie. D’une part, du point de vue de la géométrie , elle constitue un travail particulier pour au moins deux raisons. La première est qu’il n’est pas possible de réduire l’invention de la Caractéristique Géométrique au seul statut de spécimen de la Caractéristique Universelle. Leibniz invente une nouvelle géométrie, dont on peut d’ailleurs interroger le lien avec celle de Pascal – mais dont nous n’avons que peu de traces – qui affirme, pour une des premières fois dans l’histoire des mathématiques que la géométrie est la science de l’espace en soi : 2. « Pour traiter de tout ceci dans l’ordre, il faut savoir que la première chose à considérer est l’Espace lui-même soit l’ extensum  pur et absolu ; en disant pur, je veux dire pur de toute matière et de tout mouvement, en disant absolu  je veux parler d’un espace illimité et renfermant toute extension. » ( Characteristica Geometrica , 10 août 1679, in  La caractéristique géométrique , Paris, Vrin, 1995, p. 151) La seconde raison est son lien avec les travaux de perspective, de Pascal et de Desargues, mais aussi de Leibniz lui-même : il y a entre la caractéristique géométrique et la perspective une relation, sinon génétique, du moins théorique, en cela que ces deux méthodes géométriques envisagent les relations entre les objets spatiaux, c’est-à-dire leurs situations mutuelles et leurs transformations, bien plus que la détermination quantitative de ces relations (leur mesure). D’autre part, la lecture attentive des textes de métaphysique montre que de nombreux exemples ou modèles dont Leibniz use sont de nature géométrique : on pense évidemment à l’important modèle perspectif de la projection du cercle en les sections coniques, par lequel Leibniz rend compte du mode expressif (et même entr’expressif) des monades, à la métaphore de « point métaphysique » ou encore à Dieu comme « centre d’une sphère dont le centre est partout et la circonférence nulle part ». Il semble y avoir entre la géométrie non-infinitésimale de Leibniz et les thèses monadologiques une relation, dont il est mal aisé de décider d’emblée si elle va des mathématiques à la philosophie, ou de la philosophie aux mathématiques. Ces dernières années, les travaux de Vincenzo De Risi ont marqué d’une empreinte tout à fait particulière les études leibniziennes. Dans son ouvrage Geometry and Monadology , Vincenzo De Risi fait le pont entre l’  Analysis Situs  des années 1710 et ce qu’il nomme une  Groupe de recherche sur Leibniz 25 janvier 2012 « Leibniz : Géométrie et espace » 3/18 « métaphysique de l’espace » chez Leibniz. Cet essai est fondamental, en cela qu’il fait, à la géométrie de l’espace en tant que tel , et donc à la Geometria Situs , une place qu’elle n’avait encore jamais eue dans le commentaire de la métaphysique leibnizienne, alors même que les indices d’une corrélation entre les deux sont nombreux. Néanmoins, je peux en quelques mots présenter la teneur de quelques thèses de Vincenzo De Risi. À la suite de quoi, je présenterai de façon plus précise les prémices de l’invention de l’  Analysis Situs   et conclurai en interrogeant la nature du rapport entre géométrie et philosophie chez Leibniz. I. La géométrie et la monadologie : Vincenzo De Risi Dans son ouvrage, Vincenzo De Risi montre qu’après 1700, et plus précisément entre 1712 et 1716 (p. X), il est possible de déceler dans les textes de Leibniz, notamment dans sa correspondance avec le newtonien Clarke et dans celle avec le Père Des Bosses, une « métaphysique de l’espace », alors que dans la même période Leibniz travaille de façon conséquente sur l’  Analysis situs . Dans cette perspective, l’srcinalité du travail de Vincenzo De Risi réside dans la préférence qu’il donne, parmi les liens qui ne manquent jamais d’unir les différents champs de la pensée leibnizienne, à celui qui relie la géométrie de Leibniz à sa philosophie, en l’occurrence la géométrie des situations à la Monadologie et à la conception subséquente de l’espace (p. XI). En effet, ainsi que Vincenzo De Risi l’affirme dans la Préface de Geometry and Monadology , par l’  Analysis situs , Leibniz démontre (ou tente de démontrer) la continuité de l’espace, sa tridimensionalité, la possibilité d’un mouvement rigide en lui, sa nature euclidienne et son absolue nécessité. Mais, surtout, Leibniz définit explicitement l’espace comme le lieu des points liés entre eux par une relation de situation mutuelle, c’est-à-dire comme « ordre des situations » . Or, une telle conception constitue, pour Vincenzo De Risi, à la fois le point essentiel et absolument novateur de la géométrie des situations, et le cœur même de la « théorie de l’expression phénoménale » (p. XII). En effet, chez Leibniz, l’ensemble des relations inter-monadiques, qui sont des relations non-spatiales, peut être exprimé, et en cela être isomorphe, à un ensemble de « relations situationnelles », de sorte que le « super-sensible » peut être représenté de façon exacte par le « sensible » et que quelque chose comme une étendue phénoménale peut être produite et fondée (p. XII). Aussi Vincenzo De Risi considère-t-il que la théorie leibnizienne des phénomènes, au moins dans ses aspects tardifs, repose sur les deux concepts issus de la géométrie que sont l’isomorphisme et la situation, se positionnant par conséquent dans le long débat, relevé entre autres par Gilles-Gaston Granger ou Michel Serres en France 1 , au sujet du rôle des mathématiques dans l’élaboration de la métaphysique leibnizienne, puisqu’il affirme que les travaux géométriques de Leibniz ne sont pas seulement des outils ou des analogies utiles à la découverte métaphysique, mais qu’ils sont dans une forme de continuité avec elle. 2   1  Granger, « Philosophie et mathématiques leibniziennes » (1981), repris in Formes, opérations, objets , Paris, Vrin, 1994, pages 199-240. Serres,  Le système de Leibniz et ses modèles mathématiques , Introduction, § 9, Paris, PUF, 1968 2  À son sens, deux exemples sont révélateurs de cette relation privilégiée que la métaphysique entretient avec la géométrie qui semble, à bien des égards, la sous-tendre. Le premier de ces exemples réside dans l’embarras éprouvé par Leibniz, au sein de sa théorie de la matière et des phénomènes, face à la question des limites du corps organique et à la notion de contiguïté à laquelle elle est corrélée. Pour Vincenzo De Risi, les difficultés que Leibniz rencontre avec cette dernière notion sont d’ordre mathématique, bien plus que d’ordre philosophique, même si c’est métaphysiquement que l’argumentation de Leibniz en pâtit. Le second exemple est celui de la difficulté à laquelle Leibniz se trouve confronté, au sein cette fois-ci de sa théorie de l’expression, quand il s’agit de caractériser la qualité, définie phénoménologiquement par l’acte de co-perception et mathématiquement appréhendée au moyen de la relation angulaire de la similitude héritée d’Euclide. Pour Vincenzo De Risi, c’est  Groupe de recherche sur Leibniz 25 janvier 2012 « Leibniz : Géométrie et espace » 4/18 Dans ce cadre, la doctrine centrale de la philosophie leibnizienne qu’est la doctrine de l’expression fait le lien entre la « spatialité » des phénomènes et la nature de la substance. Elle permet d’appréhender la relation d’expression comme ce par quoi les relations « nouménales » qui existent entre les substances sont représentées de façon phénoménale dans des phénomènes toujours spatialisés . 3  Or, quand on cherche à déterminer de quelle manière la conception de l’espace comme ordre des situations peut être liée à la monadologie, c’est-à-dire à l’existence des monades et de leurs relations, surgit un problème manifeste puisque la monade est précisément ce qui n’a pas de situs . 4  Aussi, Vincenzo De Risi rend-il compte de la façon dont la situation, et avec elle l’étendue, peuvent advenir de substances non-situées, en considérant l’expression, qui constitue l’essence même de l’activité monadique et dont l’objet est le phénomène, et qui, en tant que telle, est la seule notion qui puisse permettre de lier la substance, le phénomène et la situation. De façon plus précise, les relations entre les phénomènes expriment de façon isomorphe les relations entre les substances, mais par des relations situationnelles. Pour maintenir quelque chose comme deux ensembles distincts, celui des phénomènes, de l’extension et de la matière d’un côté, et celui des monades, sans situation mais reliées les unes aux autres de l’autre côté, il est nécessaire de rendre compte des conditions de possibilité pour l’isomorphisme de ne pas être une stricte identité. Aussi doit-il y avoir quelque chose du monde nouménal qui n’est pas exprimé dans le monde phénoménal : certaines relations inter-substantielles ne doivent pas être préservées par l’isomorphisme expressif ou « situationnel », comme le nomme Vincenzo De Risi, ou au moins pas exprimées par la totalité des monades. Or, puisque le seul objet possible de la connaissance par une monade est le monde lui-même, dans sa totalité, les limites de la connaissance sensible ne sont pas « extensives » : elles ne peuvent se jouer que dans la manière dont le monde est appréhendé par la monade, selon les critères « intensifs » des idées obscures, claire, confuses et distinctes (p. 344). C’est dans ce contexte que Vincenzo De Risi s’appuie sur des éléments mathématiques propres à l’isomorphisme expressif pour expliciter ces différents degrés. En premier lieu, la notion de confusion définit une idée que l’entendement ne peut pas distinguer d’une autre qui lui est similaire. Ceci signifie alors que des différences, qui existent pourtant, sont éliminée dans l’expression phénoménale d’une monade, qui ne peut plus alors les distinguer, alors que ces qualités indiscernables pour elle ne le seront pas pour d’autres monades, et ne le sont pas en elles-mêmes. Ainsi, comme le montre l’exemple des feuilles du jardin d’Herrenhausen, même si deux feuilles ne pouvaient être distinguées par aucun entendement, elles seraient néanmoins encore deux feuilles. Et ce qui pose leur pluralité est précisément l’existence pour la sensibilité de leurs positions mutuelles, c’est-à-dire une différence extrinsèque. Aussi ce que l’entendement ne peut distinguer, la sensibilité le pose sans difficulté dans sa discernabilité. Il reste donc à comprendre comment une telle chose est possible, c’est-à-dire comment il est parce que la géométrie leibnizienne manque de la conception de groupes de transformations que la métaphysique ne peut pas s’appuyer sur un concept pleinement approprié de la qualité. 3  Nous ne développons pas les raisons qui font que Vincenzo De Risi limite, non dans le sens d’une restriction mais bien dans le sens d’une délimitation favorable à une véritable heuristique de l’interprétation des textes de Leibniz, son investigation aux textes de la maturité et affirme la nécessité de s’en référer aux textes mathématiques de cette époque pour appréhender d’une façon plus informée que jamais le rapport qui existe entre la Monadologie la théorie de l’espace (propre à expliquer le rapport entre les substances et l’espace, entre la matière et l’étendue, entre les mathématiques et la métaphysique). 4  Considérer qu’elle pourrait avoir un tel situs , c’est-à-dire être située dans l’espace, ce serait alors se trouver confronté au problème insurmontable de la possibilité de composer à partir des substances, inétendues, l’espace continu. En revanche, une fois nanti de son Analyse des Situation, Leibniz aurait pu penser l’étendue comme ce qui possède une structure situationnelle interne, de sorte que l’espace aurait pu être conçu comme un ensemble d’éléments inétendus mais situés, c’est-à-dire existant dans une relation situationnelle. Vincenzo De Risi le dit en ces termes : « l’espace est actuellement constitué de points, même s’il n’est pas composé par eux » (p. 311). Néanmoins, Leibniz ne choisit pas cette conception.  Groupe de recherche sur Leibniz 25 janvier 2012 « Leibniz : Géométrie et espace » 5/18 possible qu’une différence, pourtant fondée intrinsèquement, soit inaccessible à l’entendement et néanmoins constitue une différence situationnelle parfaitement intelligible. La question centrale pour l’argumentation que pose Vincenzo De Risi est alors la suivante : Pourquoi maintenir ce genre de connaissance, claire et confuse, alors même que le critère de l’obscurité dans la connaissance permet de rendre imparfaite l’expression, et celle de la distinction de la rendre partielle ? Quel est le sens, au cœur de la théorie leibnizienne, de cette connaissance hybride qu’est la connaissance claire mais confuse ? Dans cette connaissance joue de façon fondamentale la co-perception, qui est la perception simultanée d’existants, et qui définit la connaissance sensible comme connaissance de la distinction qui existe entre des éléments confus pour l’entendement, par le biais du critère extérieur de la co-présence. Or, définie ainsi par la relation, la connaissance confuse est aussi le pendant de la singularité de la substance, le corollaire de son principe d’individuation, lequel est déterminé par sa relation à toutes les autres substances. En outre, au regard des apports de l’  Analysis   situs , il apparaît que la seule relation situationnelle déterminée par la co-perception est celle qui relie entre elles, sous la relation de l’égalité, des grandeurs similaires. La connaissance claire et confuse est donc, à ce titre, corrélée à la perception de la quantité. Et la quantité n’est la propriété de rien d’autre que d’une perception, puisqu’elle est une relation qui existe entre deux phénomènes à un moment donnée, phénomènes similaires qui, sans exprimer les différences nouménales qui existent, néanmoins les exhibent (p. 357). Tout phénomène présente donc à la fois des propriétés qualitatives et des propriétés quantitatives. D’une part, parce que sans propriété quantitative, cela suggérerait qu’il serait possible qu’une connaissance des phénomènes soit entièrement distincte, c’est-à-dire qu’il existerait une âme du monde – ce que Leibniz n’admet pas. D’autre part, parce que sans propriété qualitative, cela signifierait qu’une quantité pure serait possible, alors que toute quantité est toujours attachée à une forme idéale, c’est-à-dire à la similitude. Ainsi, toute quantité étant toujours celle d’une forme qualitative spécifique, dans la perception monadique qui n’est jamais adéquate, la qualité de la figure exprime les relations inter-monadiques, tandis que les propriétés quantitatives sont le reliquat non-expressif de la perception. Aussi y a-t-il une limitation intrinsèque de l’expression monadique et la quantité apparaît comme la forme non-expressive qui constitue cet « élément interne » de la limitation. Mais il existe un second élément non-expressif et matériel qui explicite d’une façon externe la limitation propre à toute expression . Pour Vincenzo De Risi, il existe un isomorphisme situationnel idéal qui exprime le monde « nouménal » selon des déterminations de la représentation, lesquelles fondent la possibilité d’une pluralité de représentations sensibles qui sont toutes parfaitement isomorphes à un seul et même monde nouménal, et donc entr’expressives. La sensibilité peut alors être considérée comme quelque chose d’objectif et l’espace ne peut pas être réduit à la forme accidentelle et nécessaire de la perception de chaque monade, mais il doit être considéré comme l’élément principal de l’essence de la perception. Ceci renvoie au problème de l’objectivité de l’espace qui œuvre dans la perception. Le problème de l’objectivité de l’espace est un problème qui concerne, non le seul espace géométrique et abstrait, mais l’espace réel, concret de la perception. Ce qui habite Leibniz est le problème dit « de Molineux » qui soumet à son ami Locke le cas d’un homme né aveugle, qui sait distinguer par le toucher une sphère d’un cube, et qui recouvre soudainement la vue. La question est alors de savoir si cet homme pourra distinguer la sphère du cube à l’aide de sa seule vue. Ceci pose évidemment la question de la nature de l’espace dans sa relation avec les différentes perceptions qu’on en peut avoir, c’est-à-dire la question de la possibilité d’établir une correspondance entre une géométrie du toucher et une géométrie de la vue. Ceci pose surtout, pour Vincenzo De Risi, la question de la possibilité d’un sens commun qui unifierait les impressions produites par les cinq sens et fonderait une géométrie unique. Il s’agit alors de savoir comment il convient de considérer ce sens commun : comme
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