LE LOGICISME FRÉGÉEN, LA SUCCESSION ET LE PRINCIPE D'INDUCTION ARITHMÉTIQUE 1

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  1 L E LOGICISME FRÉGÉEN ,  LA SUCCESSION ET LE PRINCIPED ’ INDUCTION ARITHMÉTIQUE 1 1. L’introduction de fonctions à plusieurs arguments comme constituants de contenusconceptuels ou, en d’autres termes, l’introduction de prédicats polyadiques, permet à Freged’exprimer le genre de complexité logique auquel ressortit la validité d’inférences portantsurdessuccessions. Pourquoil’exempledelasuccessionest-ilimportantpourFrege?Il l’est, en premier lieu, pour la raison que l’arithmétique s’occupe d’ensembles denombres. L’ensemble des entiers positifs ou des nombres naturels, par exemple, est unensemble ordonné (et même « bien ordonné » au sens défini plus bas). On peut représenter l’ensemble des nombres entiers de la sorte: <1, 2, 3, ...,  n  >. Or, cet ordre est fixé par unerelationdesuccessionqu’onpeutexprimerparl’expressionfonctionnelle(unerelation)« [ ] est le successeurimmédiat de ( ) »ou« [ ] est plus grand par un que( ) ».Cette idée de succession intervient au cœur même de ce qu’on a appelé l’inductionarithmétique, induction complète, induction de Bernoulli, raisonnement par récurrence ouencoreinférencede n  à  n  +1.Ce qui intéresse Frege au premier chef, c’est de montrer qu’il ne s’agit en rien d’unmode non logique d’inférence, autrement dit qu’il ne s’agit en rien d’un modeirréductiblement arithmétique d’inférence. Cette démonstration est cruciale dansl’établissement de sa thèse d’après laquelle les vérités et les lois arithmétiques ne sontnullementsynthétiques a priori ainsiquelepensaitKant. 1 Documentécritàl’attentiond’étudiantsdeL2dephilosophie.  2 2. L’induction arithmétique (désormais « IA ») est un procédé de démonstration dont lesétapessontlessuivantes:(1) Un premier membre d’une suiteest dit posséder unepropriété.(2) On montre que si ce membre possède cette propriété, alors son successeur immédiat dans la suite la possède également.(3) De là, on montre que tous les membres de la suite possèdent cette propriété, i.e.que ce propriété est héréditaire.Considérons que nous souhaitions montrer que tous les nombres naturels ont la propriété F,en d’autres termes que tous les membres de ℕ ont F (« ℕ » est la notation communémentutiliséepourréféreràl’ensembledesnombresentiersnaturels):(1) On démontre que 1 (ou 0) a la propriété F (ce qu’on appelle «l’initialisation » ou le « cas initial » [ base case ]): F(1) (ou F(0))(2) On émet l’hypothèse d’après laquelle n’importe quel nombre  n  a la propriété F:  ∀ n F  ( n ). Il s’agit de l’« l’hypothèse de récurrence » ou «l’hypothèse inductive ».(3) On démontre en se fondant sur cette hypothèse que si  n  est F, alors  n  + 1est  F  : ∀ n (F( n ) ⊃ F( n +1)). Il s’agit de l’étape d’induction [ induction step ].(4) On en conclut queF est vrai de tout  n  : ∀ n  F( n ).L’étape (3) démontre par récurrence que F est une propriété dite « héréditaire » se «transmettant » de n’importe quel  n  à son successeur immédiat  n  + 1. Pourquoi les étapes(1)-(3)suffisent-ellesà montrer(4)?Pour le comprendre, admettons qu’on ait démontré (1) et (3). De ce fait, F est vrai de 1 puisque cela a été démontré explicitement. On a également démontré que si F est vrai de  n ,alors F est vrai de  n +  1. Donc (application de l’étape inductive) si F est vrai de 1, alors Fest vrai de 2 qui est le successeur de 1 (si  n  = 1, alors  n  + 1 = 2). Puisque si F est vrai de 2,alors F est vrai de 3 qui est le successeur de 2 (si  n  = 2, alors  n  + 2 = 3). Le mêmeraisonnementpermetdeprogresserindéfinimentdanslasériedesnombresnaturels.  3  N.B. Au lieu de considérer le raisonnement par récurrence comme un mode dedémonstration ou une règle d’inférence, il est possible de le considérer comme un principequi énonce que si une propriété arithmétique F est vraie de 1 (ou 0) et si elle est vraie dusuccesseur immédiat de  n  dès lors qu’elle est vraie de  n , alors elle est vraie de tout  n.  Leschéma quantificationnel (de premier-ordre 2 ) par lequel on exprime ce principe est lesuivant:[F(0). ∀ n (F( n )  ⊃  F( n + 1))] ⊃ ∀ n F( n )3. On a dit plus haut que l’un des enjeux du logicisme de Frege consistait à montrer quel’inférence de  n  à  n+ 1 était de nature logique 3 . Cependant, de prime abord, la validité du principe d’induction semble dépendre de ce qu’elle est fondée dans la nature même del’ensemble des nombres naturels : la séquence des nombres naturels est précisément unestructure ordonnée consistant en la série du nombre 1, de son successeur immédiat, dusuccesseur immédiat de son successeur immédiat, et ainsi de suite. Or, si l’inductionarithmétique est un mode d’inférence propre au domaine de l’arithmétique, alors elle nesemble aucunement avoir la généralité que devrait avoir un mode d’inférence proprementlogique et, de là, elle apparaît comme mettant à mal le projet logiciste. En effet, ce projetconsiste à montrer que l’arithmétique est réductible à la logique, cela rendant raison de cequ’ellea lagénéralitémaximaledelalogique 4 .4. Quel est l’aperçu décisif de Frege qui lui permet de court-circuiter cette objection? C’estl’aperçu selon lequel le principe IA n’est pas un principe ou un mode d’inférence propre àl’arithmétique qui serait dérivé de la nature des nombres naturels. Le trait de la séquencedes nombres naturels qui permet d’employer IApour prouverdes vérités générales à proposdes nombres naturels n’est pas un trait propre à la séquence des nombres naturels. Pour comprendrecepoint,ilfautrevenirsurcettenotiond’héréditéintroduiteprécédemment. 2 Par « schéma quantificationnel de  premier-ordre  », on entend ici d’abord que les quantificateurs ne lient pasleslettresdeprédicats(ici« F »),autrementditqueleslettresdeprédicatsnefigurentpascommedesvariables. 3  Fondementsde l’arithmétique ,trad.C.Imbert,Seuil,1969,p.117(désormais  FA ). 4  FA §14.  4 Prenons la relation « [ ] être un descendant direct/enfant de ( ) » (ou « ( ) être unancêtredirectde[ ] »).Cetterelationdétermineunesérieordonnée:« [ ] est un enfant de ( ) »« [ ] est un enfant d’un enfant ( ) de { } »,« [ ] est un enfant d’un enfant ( ) d’un enfant { } de < > »,et ainsi de suite.La relation d’un individu à ses ancêtres ou ses descendants a ainsi une structure très prochede la séquence des nombres naturels (« [ ] est le successeur de 1 », «( ) successeur dusuccesseur [ ] de 1», etc.). Chacune de ces deux séquences est déterminée par un premier membre et une relation (« [ ] est le successeur immédiat de ( ) » et « [ ] est un enfantde( ) »).Supposons qu’on veuille montrer qu’une propriété F est vraie de tous les individus de laséquence ou série ordonnée de Rita et de ses descendants (directs et indirects). Il est possible d’utiliser un mode de démonstration extrêmement proche de l’inductionmathématique en ce sens qu’on a seulement besoin de supposer qu’ont été établis les faitssuivants (qui valent comme les deux prémisses de notre inférence): Rita a la propriété F(cas initial); cette propriété F se transmet de descendant direct à descendant direct: F est une propriété « héréditaire».En réalité, il semble que, hormis les prémisses qui peuvent être de nature différente du faitd’une différence dans leur mode de justification ( a posteriori  ou  a priori ), une inférencerecourant à IA (dont les prémisses sont  a priori  car leur justification ne recourt pas àl’expérience) et l’inférence précédente (dont les prémisses sont  a posteriori  car leur  justification recourt à l’expérience) 5  partagent les mêmes traits structuraux. Frege voit làune raison de penser que les inférences recourant à IAne reposent pas sur des traits propresà la séquence des nombres naturels mais des traits qui sont communs à toutes sortes deséquence. L’inférence qu’une propriété est vraie de tous les éléments d’une séquence à partir d’un cas initial et de l’hérédité de cette propriété est alors valide pour des domaines 5 Surladistinctionfrégéenneentreanalytique/synthétique, a priori / a posteriori ,voir   FA ,§3.  5 dans lesquels il n’est aucunement question de nombres naturels. Tout ce qui sembleimporter pour la validité de ce mode d’inférence, c’est la structure de la séquence sur laquelle il s’exerce. Or, « il n’y a aucune raison de considérer qu’il ne peut y avoir desséquences de certains objets. Des inférences à propos des séquences et de leurs propriétés peuvent être des inférences à propos de séquences de toutes sortes d’objets. Ces inférencesontlescaractéristiquesprincipalesdesinférencesjustifiéesparlaseulelogique» 6 .5. Il s’agit d’une étape décisive dans l’achèvement du projet logiciste frégéen et dans lacritiqueà lafois delatradition logiquearistotélicienneet delaphilosophiedel’arithmétiquedeKant que de montrerque le principe d’IAet les concepts généraux de« suite [  Reihe ] » etd’«  arrangement en une suite  [  Anordnung in einer Reihe ] » sont définissables en termes purement logiques. Frege pourra alors montrer que l’IAn’a rien à voir avec l’engendrementde lasuite des nombres naturels par un processus de synthèse graduelle dans le temps ni, demanière générale, avec une construction de concepts dans l’intuition 7 et donc ce sera uneétapedécisivepourmontrerquel’arithmétiquen’estpassynthétique a priori .6. Or, le problème que pose la logique traditionnelle à Frege est qu’elle est incapable derendre compte des relations ou plutôt elle est incapable de rendre compte des inférencesvalides dont la validité dépend d’une complexité logique polyadique,  i.e.  engageant desrelations, et plus spécifiquement, des relations asymétriques et transitives comme «  x  est lesuccesseurimmédiatde  y  » ou «  x  estun enfant de  y  » 8 . Kant est en ce sens en partiejustifiéà considérer que la succession arithmétique n’est pas de nature logique mais doit être 6 JoanWeiner,  Frege ,p.24. 7 Frege,  Idéographie , trad. C. Besson, Vrin, 1999, § 23: « les lois qui vont être développées sur les suitessurpassent de beaucoup en généralité toutes les lois analogues qui peuvent être dérivées d’une quelconqueintuitionde suites.Si,par conséquent,onvoulait considérer comme plus approprié de prendre comme baseunereprésentationintuitivedesuite,il nefaudraitpas oublierquelespropositions ainsi obtenues,quisetrouveraientavoir la même teneur verbale que celles qui sont données ici, seraient cependant loin d’en dire autant qu’elles, parce qu’elles n’auraient précisément de validité que dans le domaine de l’intuition sur laquelle elles seraientfondées» 8 Une relation R est asymétrique si et seulement si (x)(y)(Rxy  ⊃ - Ryx). Une relation R est transitive si etseulementsi(  x )(  y )(  z  )((R   xy .R   yz  ) ⊃ (R   xz  )).
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