La notion d’expression et ses origines mathématiques

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  La notion d’expression et ses srcines mathématiques Par V ALERIE D EBUICHE (A MIENS , F RANCE ) Summary The notion of “expression”, which infuses the whole Leibnizian thought, srcinates, at least partially, from mathematics, for it appears explicitly in the corpus of the author, after his Parisian initiation to modern mathematics. The crucial point then consists in drawing the path that leads Leibniz from his first mathematical works about quadrature of the circle, differential calculus and series, and his discovery of perspective projection, to the notion of “expression”. Then, many mathematical elements seem to be inscribed in the very nature of “expression”: the idea of transformation and preservation, of relationship between finite and infinite, or still of envelopment and development. Now, it turns out that these elements, if they are considered merely in their mathematical dimension, are sometimes more problematic than enlightening when the question is grasping what “expression” means in its metaphysical instances, and consequently that “expression” cannot be reduced to a mere mathematical notion. L’expression est une notion qui, chez Leibniz, est aussi souvent employée (dans presque tous les champs de sa pensée, mathématique, logique, gnoséologique, linguistique, physique, métaphysique) qu’elle est peu explicitée. La diversité et la quantité de ses occurrences est donc paradoxalement liée à une certaine imprécision conceptuelle, ou du moins à une trompeuse simplicité qui tend à la définir comme une analogie entre des rapports. Il semble cependant que, en dépit de cette applicabilité presque universelle, la notion d’expression entretienne un rapport privilégié avec les mathématiques D’une part, parce qu’elle n’apparaît  pas nommément dans les textes avant 1673, année des premières et importantes découvertes mathématiques de Leibniz lors de son séjour parisien. 1  D’autre part, parce que les emplois de la notion d’expression sont souvent accompagnés d’illustrations ou d’explicitations à teneur mathématique, telles la « loi » ou la « série » intra-monadique d’une substance qui préside aux changements qui font d’elle un miroir toujours « vivant » de l’univers, ou le « situs  » monadique qui pose la substance dans un « point de vue » à partir duquel elle acquiert son unicité et pourtant participe à l’entr’expression. Enfin, parce que la fréquence de l’exemple de la projection perspective des sections coniques, dans les rares tentatives de Leibniz de définition de l’expression, laisse penser que la perspective conique recèle des éléments essentiels pour appréhender cette notion. Deux articles de Mark A. Kulstad 2  et Chris Swoyer  3  vont dans ce dernier sens, puisqu’ils relèvent tous deux l’existence d’un paradigme perspectif. Ils éclaircissent la notion d’expression d’une façon précieuse parce qu’elle est rare, en cela qu’ils s’efforcent d’en  proposer une conception à la fois synthétique et profondément ancrée dans l’analyse minutieuse des textes leibniziens. Aussi, ce sont ces articles et les éléments problématiques qu’ils font saillir au sujet de la nature mathématique de l’expression que nous présentons dans une première partie (I.) : en premier lieu, la question de l’isomorphisme de l’expression, en deuxième lieu, l’apparente identité de l’expression avec une certaine transformation et, en dernier lieu, la réduction de l’entr’expression à une sorte de transitivité de l’expression. Ces différents problèmes nous conduisent à distinguer deux objets d’étude de nature mathématique mais dont les implications excèdent le champ mathématique. D’abord, en 1  Il s’agit comme nous le verrons de la méthode des métamorphoses, du triangle infinitésimal, de la quadrature du cercle, des séries et du calcul différentiel. 2  « Leibniz’s conception of expression », in : Studia Leibnitiana  IX/1 (1977), pp. 55-76. 3  « Leibnizian expression », in :  Journal of the History of Philosophy  33/1 (1995), pp. 65-99.  deuxième partie (II.), nous nous proposons d’analyser les méthodes mathématiques des transformations (la méthode des métamorphoses et la projection perspective), qui doivent  permettre d’élucider le rapport entre expression et transformation, entre invariance et variation, entre unité et multiplicité, autant d’éléments qui jouent dans les usages non-mathématiques et plus métaphysiques de la notion. Ensuite, dans la partie suivante (III.), nous choisissons d’examiner les formes du rapport entre fini et infini qui intervient dans les séries et le calcul infinitésimal, car ces formes déterminent de façon importante les conditions de  perfection de l’expression, perfection qui fonde à la fois la théorie leibnizienne de la connaissance et la variété infinie de substances singulières à l’œuvre dans la monadologie. Enfin, dans une dernière partie (IV.), nous concluons sur les apports des premiers modèles mathématiques pour penser l’expression, et sur notre idée selon laquelle la notion leibnizienne d’expression ne peut être considérée comme une notion toute mathématique. I. Le paradigme perspectif en question 1. La projection perspective, un modèle pour l’expression : Lecture des articles de Mark A. Kulstad et Chris Swoyer L’article de Mark A. Kulstad pose un certain ensemble d’éléments qui constituent le fond d’une analyse solide et renseignée de la façon dont Leibniz explicite et illustre ce qu’il entend  par « expression d’une chose par un autre » ou par « une chose exprime une autre chose ». En  plus d’une liste fournie de cas particuliers d’expression d’une chose par une autre, il propose trois citations qui font office de définitions de l’expression et dans lesquelles l’exemple  perspectif apparaît, voire tient une place centrale. 4  Chris Swoyer se fait le lecteur de Mark A. Kulstad et pose, comme lui, le caractère paradigmatique de la projection perspective pour déterminer la nature conceptuelle de l’expression leibnizienne. Cela les conduit cependant chacun à deux conclusions qui, sans être incompatibles, orientent la compréhension de la notion d’expression dans des voies distinctes. 4  Nous les reprenons ici de façon plus complète et pour deux d’entre elles dans leur traduction française. Définition 1. « Est dit exprimer une chose ce en quoi il y a des rapports qui répondent aux rapports de la chose à exprimer. Mais ces expressions sont variées ; par exemple le modèle exprime la machine, le dessin perspectif le volume sur un plan, le discours exprime les pensées et les vérités ; les caractères expriment les nombres, l’équation algébrique exprime le cercle ou toute autre figure : et ce qui est commun à ces expressions est qu’à  partir du seul examen des rapports de l’exprimant nous pouvons parvenir à la connaissance des propriétés correspondantes de la chose à exprimer. On voit ainsi qu’il n’est pas nécessaire que ce qui exprime soit semblable à la chose exprimée, pourvu que soit préservée une certaine analogie de rapport. » (« Quid sit idea » ; GP VII, 263 ; traduit par J.-B. Rauzy : « Qu’est-ce qu’une idée ? », in : G. W. Leibniz : Recherches générales sur l’analyse des notions et des vérités. 24 thèses métaphysiques et autres textes logiques et métaphysiques , Paris 2001, p. 445.) Définition 2. « Une chose exprime une autre (dans mon langage) lorsqu’il existe un rapport constant et réglé entre ce qui se peut dire de l’une et de l’autre. C’est ainsi qu’une projection de perspective exprime son géométral. L’expression est commune à toutes les formes, et c’est un genre dont la perception naturelle, le sentiment animal et la connaissance intellectuelle sont les espèces. Dans la perception naturelle et dans le sentiment, il suffit que ce qui est divisible et matériel, et se trouve dispersé en plusieurs êtres, soit exprimé ou représenté dans un seul être indivisible, ou dans la substance qui est douée d’une véritable unité. » (GP II, 112) Définition 3. « Il suffit en effet pour l’expression d’une chose dans une autre qu’il existe une loi constante des relations par laquelle les éléments singuliers de la première pourraient être rapportés aux éléments singuliers qui leur correspondent dans la seconde, tout comme un cercle peut être représenté par une ellipse, c’est-à-dire par une courbe ovale dans une projection en perspective, et même par une hyperbole bien que cette courbe lui soit  plus dissemblable et qu’elle ne revienne pas sur elle-même, car à tout point de l’hyperbole peut être assigné par la même loi constante un point correspondant du cercle dont elle est le projeté. » (C, 15 ; traduit par J.-B. Rauzy : « Sur le principe de raison », ibid. , pp. 476-477.)  La conception de Mark A. Kulstad est de nature ensembliste qui, mettant l’accent sur la Définition 3., décrit l’expression comme une fonction qui envoie un ensemble d’éléments singuliers associé à la chose exprimant dans un ensemble d’éléments singuliers associé à la chose exprimée, c’est-à-dire comme une relation par laquelle chaque élément de la chose exprimant a un et un seul correspondant dans la chose exprimée. Ainsi, si l’on associe au cercle et à l’ellipse l’ensemble des points qui leur appartiennent, alors l’ellipse exprime le cercle parce qu’il existe une relation par laquelle on peut ramener chaque point de l’ellipse à un et un seul point du cercle. Or, dans la projection perspective, si une telle relation « point  par point » existe bel et bien, elle n’est pas seulement une fonction, mais elle est une fonction  bijective comme le note Chris Swoyer. À chaque point du cercle correspond un et un seul  point de l’ellipse et réciproquement. Or, une telle spécificité n’est pas requise pour tous les cas particuliers de l’expression, ainsi que le prouve l’exemple de l’expression d’une aire géographique par un plan, dans lequel on ne retrouve pas chacun des détails du relief ou des éléments du paysage. Aussi, pour Chris Swoyer, qui travaille surtout la Définition 1., ce qui est mis en relation dans l’expression n’est pas tant les singuliers qui composent les ensembles associés à des choses que des relations dans ces choses mêmes. Si une section conique est dite exprimer le cercle qui génère le cône, c’est en tant qu’il existe entre des propriétés du cercle et des  propriétés des coniques une certaine relation par laquelle elles sont préservées en dépit de la transformation perspective. Ainsi l’est la propriété pour une droite d’être une tangente. Toutefois il note que, dans la plupart des cas d’expression, ces relations ne sont pas de même nature. Par exemple, la relation qui existe entre les points sur le plan n’est pas identique à celle qui existe entre les villes représentées par ces points, alors que le plan constitue une sorte d’expression de la ville. Aussi l’expression consiste-t-elle en une correspondance entre des relations éventuellement hétérogènes, en la préservation d’un ordre, d’une structure sous une certaine relation de corrélation.  Néanmoins, que l’exemple perspectif conduise à la conception ensembliste de Mark A. Kulstad ou à la conception structurelle de Chris Swoyer, que l’expression se comprenne comme une fonction « point par point » de l’exprimant dans l’exprimé ou comme la  préservation de structures par la relation de projection centrale, apparaissent quelques éléments communs. D’une part, est en jeu la question fortement discutée par Chris Swoyer de la bijectivité de la fonction ou, encore, de l’isomorphisme des structures. Si Mark A. Kulstad n’évoque pas la nécessité que la fonction qui envoie un ensemble associé dans l’autre soit  bijective, même si elle est « point par point », Chris Swoyer remarque à juste titre qu’elle l’est dans le cas de la projection perspective. Or l’expression d’une chose par une autre présente rarement une telle bijection. En revanche, la préservation des structures à l’œuvre dans la  projection perspective ne présente pas la nécessité d’une telle complétude : de fait, les  propriétés du cercle ne se retrouvent pas toutes dans l’ellipse qui l’exprime. Aussi n’est-elle  pas un isomorphisme parfait et, pour cette raison, représente-t-elle pour Chris Swoyer un modèle plus adéquat de la notion d’expression, laquelle ne présente pas non plus un tel isomorphisme. D’autre part, l’expression se joue apparemment dans une transformation, explicitée soit par le passage d’un ensemble à un autre comme chez Mark A. Kulstad, soit par la relation de corrélation entre des structures comme chez Chris Swoyer. Quoi qu’il en soit, elle est dans les deux cas à la fois existence d’une modification et préservation de quelque chose. L’exemple  perspectif lui-même le dit cette fois mieux que l’idée de passage d’un ensemble à l’autre ou de morphisme des structures : l’ellipse exprime le cercle en tant qu’elle en est la figure  projetée selon les lois de la perspective, c’est-à-dire la figure transformée sous une certaine relation. Mais il s’agit alors d’une transformation qui ne transforme pas tout, qui maintient une forme de communauté qui n’est cependant pas une ressemblance, mais sans laquelle  toutefois l’expression serait anéantie. Aussi l’expression se trouve-t-elle constituer le moyen de concilier altérité et identité, modification et invariance. Enfin, les analyses de Mark A. Kulstad et Chris Swoyer tendent à délaisser la Définition 2. que pourtant ils retiennent et dans laquelle l’expression est cette fois-ci simplement illustrée  par la projection perspective, mais explicitée plus longuement sur le mode la perception unifiée au sein d’une substance indivisible d’une multitude quant à elle dispersée. Dès lors, le modèle perspectif prend un nouveau tour, comme simple image, d’une activité expressive  plus profonde : celle d’une perception qui, saisissant une multiplicité qui peut aller jusqu’à l’infinité, peut embrasser la totalité d’un univers. Alors, il s’inscrit davantage dans cette  perspective visuelle qu’un observateur détermine quand il regarde une ville du haut d’une tour, exemple fréquent sous la plume de Leibniz et de façon très précoce, dans sa  Dissertatio de arte combinatoria de 1666. 5  Dans cette infinité exprimée « immédiatement » apparaît alors le ressort essentiel de l’entr’expression monadologique et la raison de son irréductibilité à la simple médiation transitive de l’expression qui œuvre entre les sections coniques. Ce sont ces trois points que nous allons maintenant examiner : l’expression et son éventuelle isomorphie, le rapport problématique de l’expression et de la transformation, et la singularité de l’idée d’entr’expression. 2. L’isomorphisme de l’expression : Une question moins mathématique que philosophique L’exigence d’isomorphisme de l’expression qui apparaît lorsque l’on considère le modèle  perspectif comme devant se retrouver tout entier dans l’expression elle-même n’est pas aussi générale qu’elle le semble. Elle se retrouve surtout dans la littérature consacrée aux usages logico-cognitifs de l’expression : l’expression symbolique bien constituée y doit en effet être celle qui correspond d’une façon parfaitement adéquate à ce qu’elle signifie. Les signes doivent être univoques, le passage des uns aux autres réglé de façon combinatoire, de sorte que, entre les signes et les idées, il n’existe qu’une manière d’aller des uns aux autres. La naissance du projet caractéristique dès 1666 dans le  De arte combinatoria , ses nombreuses élaborations à partir de 1679 pour les travaux logiques et sa prégnance par la suite jamais démentie, comme projet d’une langue symbolique qui serait à la fois un instrument heuristique de découvertes de nouvelles vérités et l’organe de l’infaillibilité de la pensée et de sa communication, ont laissé à une tradition liée à Louis Couturat l’idée d’un transport du modèle isomorphe de la caractéristique universelle dans la notion de l’expression en général. Mais, si cette isomorphie de l’expression caractéristique constitue bel et bien un idéal du Leibniz-logicien, elle est aussi une qualité dont il reconnaît parfois qu’elle ne peut pas être atteinte par l’expression caractéristique. Les raisons de l’imperfection de l’expression caractéristique sont multiples. D’abord, dans ses Generales inquisitiones 6  de 1686, Leibniz réduit explicitement ses recherches aux  propositions de forme prédicative, alors même que toutes les pensées ne se peuvent traduire de cette façon, même au prix de longues périphrases. Surtout, Leibniz choisit l’objet de son calcul rationnel de sorte qu’il s’accorde avec la nature combinatoire de ce calcul qu’il est en train d’élaborer dans l’esprit de ses premiers travaux de caractéristique numérique de 1677. En effet, les propositions prédicatives peuvent aisément s’exprimer par des relations méréologiques, d’inhérence des notions les unes dans les autres, et les raisonnements s’exprimer par des relations de substitution des notions les unes aux autres, qui permettent de  passer d’une proposition à l’autre salva veritate . Ces deux types de relations se traduisent par 5  GM V, 9-79 ou GP IV, 27-104. 6  « Generales inquisitiones de analysi notionum et veritatum » ; C, 356-399 ; traduit par J.-B. Rauzy, in : G. W.  Leibniz : Recherches générales sur l’analyse des notions et des vérités. 24 thèses métaphysiques et autres textes logiques et métaphysiques , op. cit. , pp. 200-303.  suite avec facilité à l’aide des lois combinatoires d’un calcul grandement inspiré de l’arithmétique. Une caractéristique ainsi constituée ne saurait alors manquer de réussir là où elle garantit elle-même son application. Et Leibniz, en se restreignant aux propositions  prédicatives et aux opérations de substitution, modélise la pensée, dans son objet comme dans sa forme, de manière à la rendre entièrement exprimable par la caractéristique combinatoire du calculus ratiocinator  . Mais, ce faisant, si la caractéristique universelle peut prétendre être isomorphe à la pensée, ainsi que Leibniz l’affirme parfois, c’est alors à une pensée qu’il pré-modélise, et non à la pensée humaine en général. De plus, selon une considération moins technique, la caractéristique est une création de l’homme, dont les expressions conventionnelles et imparfaites, sont la conséquence de son imperfection intrinsèque. En effet, comprise sur le modèle de la projection perspective, l’expression est quelque chose qui permet les transformations en même temps qu’elle veille au transport d’un invariant, certaines propriétés géométriques dans la projection perspective, une certaine forme de vérité (méréologique) dans la caractéristique universelle. Or, la fin que Leibniz assigne à la caractéristique universelle et à laquelle l’expression participe est le  progrès des connaissances humaines. Et, dans cette perspective, l’expression a pour fonction heuristique essentielle de mettre à jour, par ce qu’elle transforme, un inaltéré, un inchangé, un invariant qu’elle permet alors de connaître. Aussi la nécessité de recourir à l’expression révèle-t-elle la confusion indépassable des connaissances humaines, en même temps que l’heureux enveloppement dans ce qui est connu de ce qui ne l’est pas. Par conséquent, l’isomorphie de l’expression caractéristique la rendrait vaine, parce qu’elle ne pourrait alors être que l’image d’une pensée déjà par elle-même entièrement distincte. En revanche, la  possibilité même d’une entreprise caractéristique fondée dans l’expression laisse entrevoir une autre sorte d’expression : celle, au sein de la pensée humaine, de la réalité dans sa totalité, mais de façon partiellement confuse et pourtant entièrement enveloppée. Celle, donc, d’un homme qui, créature de Dieu, exprime l’univers d’une façon complète et imparfaite, alors que l’expression caractéristique, œuvre de cet homme, exprime la pensée de façon incomplète et (idéalement) parfaite. Aussi nous semble-t-il que l’expression, dans sa dimension caractéristique, n’est pas une expression isomorphe à ce qu’elle exprime, ou alors, si elle l’est, c’est sur le mode d’un idéal régulateur et non d’une invention logique achevée. En revanche, au cœur de l’âme humaine se joue quelque chose d’une telle expression, à la fois pleine et imparfaite, qui appelle par conséquent les ressorts métaphysiques de la théorie leibnizienne de la connaissance, fondée à la fois dans l’idée d’une activité substantielle (toujours liée à une théodicée) et dans une théorie de l’idée fréquemment accompagnée de l’exemple perspectif. Mais ce sont là des considérations qui débordent le cadre de notre propos et que nous ne développerons pas plus avant. 3. Expression et transformation : Une srcine mathématique problématique Le modèle perspectif s’appuie sur une conception de la représentation inspirée du Quattrocento et des ses innovations picturales et architecturales. Le modèle du cône généré  par un cercle à l’infini, tel celui à partir duquel les coniques sont engendrées par projection du cercle sur un plan à distance finie du sommet du cône, est l’analogue du cône visuel dont le tableau est le plan de projection sur lequel les éléments sont représentés selon le point de vue de l’artiste, c’est-à-dire selon son angle de vision. La circonférence d’une coupe, pourtant ronde, devient ovoïde lorsqu’elle est représentée sur le tableau, de même le cercle devient ellipse quand il est projeté sur un plan ayant une certaine inclinaison (il devient parabole, hyperbole, droite, voire point quand il est projeté sous d’autres angles ou à d’autres distances). Les sections coniques qui expriment le cercle générateur sont donc les figures transformées de
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