L’expression leibnizienne et ses modèles mathématiques

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   Journal of the History of Philosophy,  vol. 51 , no. 3  ( 2013 ) 409 – 439 [ 409 ] L’expression leibnizienne et ses modèles mathématiques  VALÉRIE DEBUICHE* 1 . introduction: la question du modèle mathématique au travers de la doctrine leibnizienne de l’expression 1 . 1 . L’expression leibnizienne et les mathématiques: Origines et exemples  La notion “d’expression” traverse la philosophie de Leibniz dans presque tous les champs que le philosophe aborde: dans ses essais caractéristiques, dans ses travaux mathématiques, dans les principes de sa dynamique et au cœur de sa mé-taphysique. Elle intervient de façon centrale dans sa philosophie: philosophie de la plénitude prise dans des contradictions radicales, notamment quand il s’agit de rendre compte de l’union de l’âme et du corps, de la multiplicité des substances et de leur accord universel. Il revient alors à la notion d’expression de permettre de penser le monde à l’aune de la continuité propre au monde matériel en dépit de la discrétion fondamentale des substances, de leur pluralité et de leur infinité. Telle est donc la nature de l’expression, ou du moins sa place dans la philosophie de Leibniz: être ce par quoi sont liées entre elles des choses distinctes, voire hété-rogènes. Ainsi, un corps exprime l’univers tout entier, chaque substance exprime son propre corps, chaque substance exprime l’univers, la substance exprime Dieu, les substances s’expriment mutuellement; mais aussi les actions de chacun expri-ment son âme, le monde exprime Dieu, l’effet tout entier exprime la cause pleine; ou encore le discours exprime les pensées et les vérités, une équation algébrique exprime un cercle, l’idée d’un cercle exprime le cercle, une ellipse exprime un cercle, etc. À l’œuvre à tous les niveaux de la pensée leibnizienne, l’expression de-meure néanmoins une notion assez floue, bien plus souvent illustrée qu’explicitée.  À cet égard, les mathématiques paraissent déterminer de façon conséquente le contenu même de la notion, tant par les exemples qu’elles fournissent que par les concepts que Leibniz transporte d’elles vers sa doctrine de l’expression. *  Valérie Debuiche  is Associate Researcher at SPHERE, CNRS/University of Paris 7–Denis Diderot.  410  journal of the history of philosophy 51:3  july 2013 En effet, de façon traditionnelle, l’expression est considérée à la lumière de la définition donnée dans le Quid sit idea   de 1678 , 1  assez tôt par conséquent dans la pensée leibnizienne. L’expression y est présentée comme une “analogie des rapports.” 2  De ce fait, elle apparaît comme étant liée étroitement au concept mathématique de “proportion” ou encore de “similitude” (Leibniz, Quid sit idea   [A 6 - 4 : 1371 ]) entre des rapports, à la façon de deux triangles semblables et pour-tant de grandeurs différentes. Par ailleurs, elle surgit dans le corpus leibnizien après 1673 , année des “grandes découvertes” du triangle caractéristique et de la méthode des métamorphoses. 3  Avant l’initiation parisienne de Leibniz aux mathé-matiques en 1672 , le terme d’ ‘expression’ n’est pas vraiment employé dans les textes de philosophie, même si des termes proches, ou du moins connectés à elle dans des textes ultérieurs, tels ceux d’harmonie, de correspondance, d’accord, de série, de point de vue, etc., apparaissent déjà. La Confessio Philosophi   de 1673 , par exemple, est habitée par des problèmes et des idées relatifs à l’expression, sans que, pourtant, jamais le terme ‘exprimer’ apparaisse. On y trouve les termes de ‘série,’ ‘situation,’ et ‘correspondance,’ et elle pose la question du fondement de “l’harmonie.” Elle affirme sans la prouver cependant l’existence d’un passage entre la nature de la chose perçue comme harmonieuse: la création divine, et la nature harmonieuse de la chose qui perçoit cette harmonie: l’esprit. 4  Or, tous ces éléments ne trouvent leur pleine signification ou leur résolution que dans les doctrines de l’expression et de l’entr’expression. Sans elles, par exemple, le passage de l’harmonie de l’univers à l’harmonie de l’esprit qui le perçoit manque d’un fondement qu’elles lui offriront par ailleurs plus tard. De plus, les textes mathématiques de la période parisienne ( 1672 – 76 ) sont quant à eux parsemés d’occurrences explicites du terme ‘exprimer’—comme nous allons le montrer.  Aussi ce faisceau lexical permet-il de penser que l’srcine de la notion d’expression est largement mathématique, 5  même si ses ramifications s’étendront, par la suite, au-delà du champ des mathématiques. Enfin, à cette srcine mathématique de la notion s’ajoutent les nombreuses illustrations mathématiques qui jalonnent les textes qui traitent de l’expression monadique: l’exemple de la projection perspective habite les présentations de l’activité expressive de la substance; la métaphore du centre ou encore celle du point de vue conçu comme situs   précisent la position paradoxale de la substance réelle, entre singularité, expression de l’univers tout entier et entr’expression universelle; les conceptions de “loi de série” 6  ou “d’enveloppement” (Leibniz, PNG § 13  [GP 6 : 604 ]), interviennent dans l’explicitation de l’activité dynamique de la substance. La fréquence absolument remarquable de ces exemples ou 1    Exprimere aliquam rem dicitur illud, in quo habentur habitudines, quae habitudinibus rei exprimendae respondent (Leibniz, Quid sit idea   [A 6 - 4 : 1370 ]). 2   … modo habitudinum quaedam analogia servetur   (Leibniz, Quid sit idea   [A 6 - 4 : 1370 ]). 3    Voir Hofmann, Leibniz in Paris: 1672 –  1676 . 4   Consistet ergo felicitas in statu mentis quam maxime harmonico. Natura mentis est cogitare; harmonia ergo mentis consistet in cogitanda harmonia   (Leibniz, Confessio Philosophi    31  [A 6 - 3 : 116 – 17 ]). 5    Voir notre article paru en 2011 , Debuiche, “La notion d’expression et ses srcines mathéma-tiques,”   88 – 117 . 6   “Que chacune de ces substances contient dans sa nature legem continuationis seriei suarum operatio- num  , et tout ce qui luy est arrivé et arrivera” (“Leibniz an Antoine Arnauld, 30 . März 1690 ,” A 2 - 2 : 312 ).  411 l’expression leibnizienne et mathématiques métaphores permet alors de considérer que l’acception philosophique de la no-tion d’expression doit pouvoir se résoudre dans la ou les significations qu’elle prend dans le champ des mathématiques. Peut-on affirmer qu’il y a chez Leibniz l’application d’un modèle mathématique de l’expression dans le champ métaphy-sique? Sans doute. Peut-on tirer de cela que la dimension métaphysique de la notion d’expression se réduit à sa nature mathématique? Cela serait évidemment excessif et pose le problème de l’éventuel mathématisme de la philosophie leibnizienne. 1 . 2 . La question de la modélisation mathématique de l’expression leibnizienne  Tout d’abord, et de façon très générale, ce n’est pas parce qu’une notion trouve son srcine dans un champ disciplinaire qu’elle s’y restreint toujours. La notion leibnizienne d’expression n’échappe pas à la règle, même si la prégnance des modèles mathématiques par lesquels Leibniz en rend compte semble suggérer le contraire. Que la conception de la notion soit élaborée manifestement à l’occasion de certaines découvertes mathématiques est certes très significatif, mais insuffisant pour affirmer que la nature de la notion d’expression se trouve tout entière dans des modalités mathématiques. Ensuite, et comme l’affirme Michel Serres au § 9  de l’Introduction de son Système de Leibniz et ses modèles mathématiques   ( 1 : 62 – 70 ), même si l’on considère que les mathématiques de Leibniz sont un “modèle” pour sa métaphysique, cela ne suffit pas pour affirmer que sa métaphysique est totale-ment mathématique. Pour Serres, au contraire, si la mathématique leibnizienne est un modèle de la métaphysique, en tant qu’elle est une “image simple” ( Système de Leibniz  , 1 : 69 ) de la “complexité du réel ou de l’intelligible” ( Système de Leibniz  , 1 : 63 ), elle est aussi de ce fait même quelque chose qui est “affaibli par l’incomplétude des notions”   ( Système de Leibniz  , 1 : 64 ). Elle propose un modèle, mais un modèle imparfait. Elle offre un modèle systématique, mais un modèle qui, en vertu de sa systématicité même, est “partout dense dans le système général” dont il “constitue une ‘partie totale’,” dont il est “une région, mais une région systématisée comme le tout: c’est-à-dire qui peut aussi bien le systématiser qu’être systématisée par lui”   ( Système de Leibniz  , 1 : 70 ). Ainsi mathématique et métaphysique se trouvent-elles unies dans l’analogie de leurs systèmes: elles se correspondent, l’une abstraite, l’autre concrète, d’une manière qu’il est possible et même souhaitable, pour Serres, de préciser si l’on veut pouvoir les appréhender l’une et l’autre d’une façon pertinente. Mais, pour cette raison, la mathématique ne peut pas suffire à rendre compte pleinement de la métaphysique en général, et de la doctrine de l’expression en particulier. Et, en effet, il se trouve que l’hypothèse d’une fondation de la métaphysique leibnizienne—qui porte en son cœur la notion d’expression—dans la mathé-matique ne résiste pas à l’examen du corpus. Car la notion d’expression n’est explicitée par Leibniz, les rares fois où elle l’est, que dans des textes qui traitent des questions philosophiques des fondements de la connaissance humaine, de l’union de l’âme et du corps, ou de la nature de la création divine. Dans ces con-textes métaphysiques, la notion apparaît effectivement comme fondamentale, puisqu’il est besoin d’en développer et éclairer la nature. Mais, dans le champ des mathématiques, la clarté et l’efficacité des méthodes la mettant en œuvre semblent  412  journal of the history of philosophy 51:3  july 2013 suffire à justifier son usage et ne requérir aucune élucidation de sa signification. Par exemple, quand Leibniz affirme dans le cadre de la quadrature arithmétique du cercle, que l’aire du quart de cercle de côté 1  est “exprimée” par la série 1 / 1  − 1 / 3  + 1 / 5  − 1 / 7  + 1 / 9  − 1 / 11  + etc.   (“Leibniz an Gallois, Ende 1675 ,” A 3 - 1 : 356 ), il ne prend pas la peine de définir ce que peut bien être une telle “expression:” dans les mathématiques, elle trouve dans sa seule utilité sa justification et son sens. En revanche, au cœur de la métaphysique leibnizienne, où elle prend une place de premier ordre et où elle intervient dans la résolution de problèmes les plus importants, elle appelle des explicitations, des définitions, des illustrations. De ce fait, il paraît possible d’affirmer que la notion d’expression déborde les limites de ses usages mathématiques. Et cela semble prouver l’irréductibilité de la métaphysique aux mathématiques, voire le primat du système métaphysique sur le système mathématique. Faut-il alors aller jusqu’à l’idée, comme le fait Gilles-Gaston Granger, qu’il existe chez Leibniz une forme d’exception du raisonnement et de l’invention concep-tuelle qui en fait “l’un des très rares exemples d’une création mathématique qui, authentiquement novatrice sur bien des points, est associée dès son srcine et tout au long de son histoire à des vues logiques et métaphysiques où elle trouve son impulsion initiale et l’orientation de son mouvement” (Granger, “Philosophie et mathématiques leibniziennes,” 199 – 200 )? Pour Granger, ce sont les intuitions, les questions et les découvertes philosophiques, c’est-à-dire logiques et métaphysiques, qui initient chez Leibniz des inventions mathématiques proprement novatrices, comme celle de l’ Analysis    situs  . Celle-ci, en effet, trouve à son sens son fondement dans la pensée philosophique d’une “mathématique des formes” (“Philosophie et mathématiques leibniziennes,” 216 ) et d’une métaphysique fondée dans la relation. Aussi, en plus de dépasser les mathématiques, la métaphysique pourrait les dominer, d’une part en les nourrissant de ce qu’elles ne peuvent tirer d’elles-mêmes, et d’autre part en dessinant par le biais de ses concepts les limites de l’invention mathématique leibnizienne. Il ne s’agit cependant pas de discuter maintenant la démonstration de Granger, ni de la confronter avec la thèse de Serres. Mais il s’agit de révéler combien il est difficile de décider si et quand les mathématiques leibniziennes commandent sa philosophie, si et quand sa métaphysique détermine ses inventions mathéma-tiques, si et quand elles sont à ce point intriquées qu’elles ne se distinguent pas aisément. Aussi n’est-ce pas la légitimité d’une éventuelle modélisation mathé-matique de la métaphysique leibnizienne qui est en question. Plus modeste, car moins fondamentale, mais plus précise, car plus particulière, nous paraît être, dans un premier temps, la question de la portée des apports conceptuels des travaux mathématiques pour saisir la notion d’expression, parce que celle-ci est souvent illustrée, imagée, explicitée, et exprimée par le biais d’éléments mathématiques. C’est alors seulement dans un dernier temps et en conclusion (section 6 ) que nous aborderons la question de l’éventuel débordement des concepts mathématiques par les thématiques métaphysiques de la création divine et de la monadologie, et que nous envisagerons les limites inévitables d’une explicitation de l’expression en les termes ‘d’analogie des rapports’ quand on veut saisir pleinement les ressorts de l’expression intra- et inter-monadique.  413 l’expression leibnizienne et mathématiques Dans cette perspective, il est nécessaire de présenter, de façon précise, ce que les travaux mathématiques élaborés entre 1672  et 1679 , assez tôt par conséquent dans la pensée leibnizienne, permettent de penser de la notion d’expression, puisque les éléments que ces travaux révèlent sont employés dans les textes phi-losophiques contemporains et postérieurs. Dans un premier temps (section 2 ), nous exposerons la projection perspective, exemple souvent considéré par Leibniz lui-même comme un modèle remarquable pour penser la notion d’expression: une chose en exprime une autre comme les sections coniques expriment le cercle dont elles sont les projetées perspectives. Puis, dans un deuxième temps (section 3 ), nous étudierons les séries infinies et le calcul différentiel. En effet, Leibniz évoque la “loi de série” pour rendre compte de l’activité expressive de la monade, or cette notion se trouve également au cœur des travaux du philosophe sur les séries, notamment infinies. Ce sont d’ailleurs ces travaux qui initient sa quadrature du cercle et participent à la constitution de son calcul différentiel. Et ces différentielles elles-mêmes, comme entités infinitésimales, portent en elles quelques-uns des éléments métaphysiques de l’expression monadique conçue comme la représentation repliée mais dynamique du monde, selon l’image du “miroir vivant de l’univers.” Enfin, un troisième temps (section 4 ) sera consacré au Calcul des Situations, puisque la fréquence de l’image du “point de vue” de la monade ne convoque pas seulement le modèle perspectif, mais aussi la géométrie novatrice initiée en 1677  et développée dès 1679  de l’ Analysis situs  . Géométrie des relations de situations mutuelles, elle résonne avec la forme métaphysique de l’entr’expression du monde leibnizien et elle donne à en penser quelque chose,  jusque dans les éléments qui la rendent irréductible à la monadologie dans sa plénitude. Enfin, nous reprendrons (section 5 ) les apports de ces différentes conceptions mathématiques pour appréhender le système de la monadologie. 2 . la projection perspective: un modèle privilégié de l’expression 2 . 1 . La projection perspective, les sections coniques et l’expression  Leibniz utilise fréquemment le modèle perspectif pour illustrer l’expression de l’univers par la monade, et de façon générale l’expression d’une chose par une autre: Est dit exprimer une chose ce en quoi il y a des rapports qui répondent aux rapports de la chose à exprimer. Mais ces expressions sont variées; par exemple le modèle exprime la machine, le dessin perspectif le volume sur un plan. . . . (Leibniz, Quid sit idea  , A 6 - 4 : 1370 / Recherches générales  , 445 )Une chose exprime une autre (dans mon langage) lorsqu’il y a un rapport constant et reglé entre ce qui se peut dire de l’une et de l’autre. C’est ainsi qu’une projection de perspective exprime son Geometral. (“Leibniz an Antoine Arnauld, 9 . Oktober 1687 ,” A 2 - 2 : 240 )Il suffit en effet pour l’expression d’une chose dans une autre qu’il existe une loi constante des relations par laquelle les éléments singuliers de la première pourraient être rapportés aux éléments singuliers qui leur correspondent dans la seconde, tout comme un cercle peut être représenté par une ellipse, c’est-à-dire par une courbe ovale dans une projection en perspective, et même par une hyperbole bien que
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