Grandeur, quantité et mesure dans la géométrie de Leibniz

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  CEPERC – Séminaire sur la mesure 5 décembre 2013 « Grandeur, quantité et mesure dans la géométrie de Leibniz » 1/21 G RANDEUR , QUANTITE et  MESURE dans la  GEOMETRIE de   L EIBNIZ   Valérie Debuiche   Introduction. Mesure et géométrie au 17 e  siècle En préparant l’intervention de ce jour, il m’est apparu que, quand on examine les études et commentaires historiques généraux du concept de mesure, la notion est souvent présentée dans son rapport avec la science physique et, plus précisément, comme ayant une place importante dans l’avènement de la science classique au début du 17 e  siècle. Elle est, en effet, étroitement liée à l’émergence de la physique mathématique en tant que description des phénomènes naturels par le moyen d’éléments géométriques, tels que des segments, des courbes ou des angles, et de formules mathématiques qui expriment certaines relations entre des phénomènes. Par exemple, la loi de la réfraction de la lumière est exprimée par l’équation n 1 sin θ  1 = n 2 sin θ  2  (où n 1  et n 2   sont les indices de réfraction des milieux différents et θ   l’angle d’incidence du rayon lumineux), équation qui marque une première modélisation d’un phénomène visible en termes de relations géométriques, puis une seconde modélisation de ces relations géométriques sous la forme d’expressions algébriques par lesquelles, enfin, peut se produire leur mesure. Aussi, si la physique mathématique n’est évidemment pas seulement une science de la mesure, elle doit cependant permettre celle-ci, c’est-à-dire permettre de ramener un phénomène à une grandeur qui doit pouvoir être quantifiée - même si cela ne signifie pas qu’elle doive nécessairement être dénombrée. Ce qui me frappe dans ces études 1  est le rôle secondaire qui semble être concédé au rapport que la géométrie elle-même entretient avec la mesure au 17 e  siècle - même si l’analyse du 19 e  siècle rendra à la mesure 1  J. Dhombres,  Nombre, mesure et continu. Épistémologie et histoire , Paris, Nathan, 1978.  CEPERC – Séminaire sur la mesure 5 décembre 2013 « Grandeur, quantité et mesure dans la géométrie de Leibniz » 2/21 une place de premier choix et, incidemment, ravivera l’intérêt des études historiques pour le rapport entre mesure et mathématiques mais non, à strictement parler, entre mesure et géométrie. Pourtant, au 17 e  siècle, la géométrie en elle-même s’affronte avec la place faite en son sein à la mesure  et, de ce fait, à la grandeur   et à la quantité  . Ce constat m’est venu lors de mes recherches sur la relation qui existe, au 17 e  siècle, entre l’émergence d’une perspective géométrique, et non plus seulement picturale, et l’invention d’un nouveau type de géométrie que l’on trouve essentiellement chez Leibniz, à savoir la géométrie des situations définie comme géométrie de l’espace lui-même, des relations spatiales et des qualités géométriques, et non comme science des figures et de leur grandeur géométrique. Si l’on se tient à quelque chose d’intuitif, la relation entre la mesure  et la grandeur   est claire : mesurer, c’est rapporter une certaine grandeur donnée à une quantité par le truchement d’un troisième terme, l’étalon ou, encore, l’unité de mesure. Il semble même difficile de concevoir une grandeur qui ne soit pas, en droit du moins, quantifiable par la mesure. Se pose évidemment le problème des grandeurs continues qui ne peuvent être mesurées numériquement, c’est-à-dire qui ne peuvent être rapportées à un nombre ou à un rationnel. Ces grandeurs sont d’ailleurs le cœur même de la géométrie qui les construit bien avant que les mathématiques ne les mesurent. Néanmoins, elles demeurent quantifiables, à la fois grâce aux nombres irrationnels et au calcul différentiel et intégral - que Leibniz invente par ailleurs étendant ainsi la puissance du calcul mathématique à des sphères géométriques et dynamiques que la méthode cartésienne ne parvenait pas à atteindre. Aussi n’est-ce pas la question pragmatique des modalités par lesquelles le continu géométrique est ramené à la mesure qui m’intéresse, encore qu’elle soit d’importance. Ancrée dans la question de la grandeur  , la géométrie est de fait intrinsèquement liée à la mensurabilité  . Or, en lui-même, l’objet géométrique semble déborder la question de sa mesure et, incidemment, de sa grandeur, notamment quand on le considère comme objet spatial, comme ce qui occupe un certain lieu dans l’espace, comme ce qui possède une position et une configuration. Telle est la source de la démarche de Leibniz, laquelle peut se formuler ainsi : N’existe-t-il pas une géométrie plus large que celle des grandeurs qui, en embrassant cette dernière, l’englobe en même temps qu’elle la dépasse ? Ne peut-on concevoir une géométrie défaite de tout rapport à la grandeur et, de ce fait, à la quantité ; une géométrie de la seule qualité   qui ne peut, alors, être que celle d’être « spatial » ou des choses « dans l’espace », c’est-à-dire des « relations » spatiales ; une géométrie, finalement, de l’ ordre  et non de la mesure  ? Leibniz s’efforce alors de produire une telle géométrie, d’abord appelée « caractéristique géométrique » puis « calcul des situations » : une géométrie dans laquelle la grandeur et la  CEPERC – Séminaire sur la mesure 5 décembre 2013 « Grandeur, quantité et mesure dans la géométrie de Leibniz » 3/21 quantité n’interviennent pas, du moins pas en principes, une géométrie douée de la puissance symbolique de la caractéristique et ayant pour objet l’espace et les relations en lui. Il s’y essaie dans de nombreux essais entre 1677 et la fin de sa vie. Or, entre les derniers textes et les premiers, un net infléchissement s’opère. En effet, dans ses premières tentatives des années 1670-80, Leibniz présente des essais d’une srcinalité parfois admirable qui mettent en leur cœur la notion de congruence , que l’on peut définir rapidement comme la qualité de ce qui ne peut se distinguer que par la position, et présentent - quoique très succinctement - la possibilité d’un espace qui ne serait pas euclidien. En revanche, dans la dernière période de sa vie, la notion de similitude  remplace celle de congruence dans les fondements de la géométrie des situations. Est semblable ce qui se distingue par la grandeur qui ne peut être appréhendée que dans la co-perception. La congruence est alors définie comme ce qui est semblable et égal et, de ce fait, elle apparaît comme une notion quantitative - de même que l’est celle de la similitude puisqu’elle contient la notion de grandeur. Aussi, si dans les premiers textes qui mettent en avant le concept de congruence, les notions de grandeur, de mesure et de quantité sont bel et bien secondaires, elles reviennent en force dans les textes tardifs de sorte que Leibniz semble alors revenir à des procédés plus classiques en cela qu’ils sont plus immédiatement euclidiens. Ce constat sommaire conduit à plusieurs questions. D’une part, peut-on effectivement exonérer la géométrie des premières années d’être quantitative et, si oui, quels en sont les ressorts fondamentaux ? D’autre part, si tel est bien le cas, comment comprendre que Leibniz abandonne ses premiers travaux et réalise à la fin de sa vie une géométrie des situations qui paraît moins défaite du rapport au grandeur que celle de sa jeunesse ? Quelles sont les difficultés mathématiques qui jouent ici ? Y en a-t-il seulement ? Car, en effet, à l’histoire même des mathématiques leibniziennes se superpose l’histoire de sa philosophie. Faut-il voir dans la mutation de la pensée géométrique de Leibniz les exigences de sa pensée philosophique ? L’indice de cette question se trouve dans l’absence relative, dans la pensée de jeunesse de Leibniz, de toute réflexion philosophique sur l’espace en soi. En revanche, dans ses réflexions plus tardives émerge une métaphysique de l’espace ou, plutôt, une métaphysique qui pose de façon centrale la question de l’espace - ainsi qu’on le trouve notamment dans la correspondance avec le newtonien Clarke. Sont-ce alors des exigences métaphysiques qui imposent des changements théoriques en mathématiques ? Cela met en scène une question pour laquelle j’éprouve un intérêt croissant : quel est le lien entre la géométrie pensée comme science de l’espace et la philosophie conçue comme métaphysique pour laquelle la notion d’espace est problématique ? Car il ressort de tout ce qui précède que ce lien ne peut se résoudre en celui du modèle de l’un sur l’autre, un tel paradigme atténuant  CEPERC – Séminaire sur la mesure 5 décembre 2013 « Grandeur, quantité et mesure dans la géométrie de Leibniz » 4/21 l’aspect dynamique et emmêlé des relations qui se peuvent nouer au sein d’une même pensée, celle de Leibniz, portant sur un même objet, l’espace, dans les deux champs distincts de la philosophie et des mathématiques. Néanmoins, dans l’exposé qui va suivre, puisque mes recherches commencent à peine, je vais présenter des éléments textuels objectifs et poser des questions et non donner des conclusions définitives. Dans un premier temps, je décrirai le contexte de l’invention de la nouvelle caractéristique géométrique, contexte dans lequel Leibniz critique explicitement l’étroitesse du rapport entre la géométrie, la mesure et la grandeur quantifiée. Dans un deuxième temps, j’exposerai les principaux éléments de la première caractéristique géométrique afin de décider s’ils permettent effectivement l’élaboration d’une géométrie non-quantitative. En conclusion, je les comparerai brièvement avec la plus tardive analyse des situations. Par cela, il s’agira, d’une part, de se demander si l’on peut échapper à la quantité quand on étudie des espaces déterminés et, notamment, ainsi que le fait Leibniz, quand on se situe dans un espace euclidien. D’autre part, et de façon plus générale, le but sera de déterminer dans quelle mesure la géométrie de Leibniz est parvenue ou a échoué à devenir une science des relations départie du rapport aux quantités mais aussi, ce que je n’ai fait qu’entrevoir, comment cette réussite ou cet échec dévoile quelque chose de la philosophie de l’espace qui voit le jour dans le même temps.  CEPERC – Séminaire sur la mesure 5 décembre 2013 « Grandeur, quantité et mesure dans la géométrie de Leibniz » 5/21 1. La caractéristique géométrique des premières années : une géométrie non-quantitative 1.1. Le contexte de l’invention Dans un premier temps, donc, il me semble devoir relever le rapport qui existe, dès l’srcine, entre l’invention du calcul différentiel et celle de la caractéristique géométrique. Par exemple, en 1682, dans un texte publié au mois de février dans les  Acta Eruditorum , intituté  De vera proportione circuli ad quadratum circumscriptum in numeris rationalibus expressa (GM V, 118-122), Leibniz écrit : Depuis toujours, les Géomètres se sont employés à établir des proportions (  proportione ) entre lignes courbes et lignes droites, pourtant même à présent que nous disposons de l’Algèbre, nous ne maîtrisons pas encore bien cette question, du moins en appliquant les méthodes en usage aujourd’hui. (Traduction par M. Parmentier,  Leibniz. La naissance du calcul différentiel , Paris, Vrin, 1989, p. 71) Leibniz poursuit : Au cours de ce siècle, on a trouvé moyen de mesurer ( metiendi ) quantité de figures curvilignes, notamment lorsque les ordonnées BC sont en raison multipliée ou sous-multipliée, à quelque degré que ce soit, directe ou réciproque, des abscisses AB ou DC : le rapport de la figure ABCA au rectangle circonscrit ABCD sera celui de l’unité au nombre exprimant la multiplicité de la raison, plus 1. (  Ibid. , p. 72) Il s’agit alors pour Leibniz de défendre l’idée selon laquelle l’algèbre cartésienne pourrait être déployée au-delà des limites qu’elles s’assigne elle-même, notamment en intégrant les courbes dites « transcendantes » lesquelles ne peuvent être réduites ou exprimées par des équations algébriques de degré déterminé. Le moyen est l’intégration au sein de l’algèbre classique de l’infini, mais aussi de l’infinitésimal, que ce soit dans l’indétermination du degré de la courbe transcendante ou dans l’infinité de la série de nombres rationnels dans la courbe arithmétique - telle celle qui donne l’aire du quart de cercle de rayon 1 qui est 1-1/3+1/5-1/7+…. L’exactitude de la connaissance de la courbe par son expression fait que Leibniz les identifie comme « analytiques » et évoque par ailleurs une « analyse des transcendantes ». Mais, quoi qu’il en soit, il s’agit encore d’une mathématique de la mesure qui consiste de façon paradigmatique en la réduction de tout problème en une quadrature ou en une détermination des tangentes, ainsi qu’il l’explique en 1693 encore une fois dans les  Acta
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