Giusti Enrico - IL CALCOLO INFINITESIMALE TRA LEIBNIZ E NEWTON (1988).pdf

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  REND. SEM. MAT. UNlVERS. POLITECN. TORINO Vol. 46°, 1 (1988) Enrico Giusti IL CALCOLO INFINITESIMALE TRA LEIBNIZ E N E W T O N (*) 1. Introduzione I nomi di Leibniz e di Newton sono oggi indissolubilmente uniti all'invenzione dell'analisi infinitesimale, una delle teorie matematiche che piii ha arricchito la matematica moderna e determinato il progresso della scienza. E non potrebbe essere altrimenti: infatti una volt a abbandonate
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  REND.  SEM. MAT. UNlVERS. POLITECN. TORINO Vol. 46°, 1 (1988) Enrico Giusti IL CALCOLO INFINITESIMALE TRA LEIBNIZ E NEWTON (*) 1. Introduzione I  nomi di Leibniz e di Newton sono oggi indissolubilmente uniti all'invenzione dell'analisi infinitesimale, una delle teorie matematiche che piii ha arricchito la matematica moderna e determinato il progresso della scienza. E non potrebbe essere altrimenti: infatti una volt a abbandonate definitivamente le rivendicazioni di priorita nell'invenzione e le conseguenti accuse di plagio, e riconosciuta la sostanziale indipendenza delle scoperte dei due scienziati, i metodi elaborati da Leibniz e da Newton, salvo la difTerenza di notazioni, risultano praticamente equivalenti, nel senso che ogni risultato delPanalisi si pub esprimere, con maggiore o minor fatica, nelPuno o nell'altro linguaggio. D'altra parte, che i due metodi fossero quanto meno simili era perfettamente chiaro ai due attori principali, sia quando si scambiano affermazioni di stima che al momento delle accuse piu roventi, come anche alia folia di comprimari che intervengono a difesa delPuna e dell'altra posizione, spesso in maniera piu forte di quanto non facciano e forse non vogliano gli stessi protagonisti. Ma se lo spettacolo che si recita dalle due parti della Manica e basato sullo stesso soggetto, cio non significa automaticamente che la regia sia ( 1 ) Lavoro eseguito nell'ambito del gruppo di ricerca Storia delle matematiche (40%) del M.P.I. Classificazione per soggetto: AMS(MOS, 1980): 01A45.  2 identica nei due casi, ne tanto meno che quella che e considerata la scena madre a-Cambridge lo sia altrettanto ad Hannover o a Basilea. Al contrario, i punti di vista sull'importanza relativa alle varie parti di cui si compone il calcolo infinitesimale possono essere sostanzialmente differenti, ed influenzare non poco la direzione dell'indagine e in definitiva la stessa affermazione di una scuola sulla rivale. In questo lavoro cerchero di mettere in luce queste differenze se non di contenuto almeno di prospettiva, e dunque di separare di nuovo cio che la storia ha unito, e di ritrovare i due calcoli che il tempo e la prassi scientifica hanno fuso in uno. A tale proposito seguiro due strade complementari e convergenti: da una parte cerchero di ricostruire i diversi percorsi intellettuali di Leibniz e Newton, e dall'altra mettero a confronto le loro dichiarazioni esplicite in merito alle scoperte che costituiscono il calcolo e alia loro importanza relativa. Nel primo caso si trattera di compiere un'analisi dei contenuti scientifici delle due teorie, nell'altro di raccogliere e confrontare le prese di posizione dei due scienziati, ed in particolar modo quelle nette ed esplicite del periodo della grande disputa sull'invenzione dell'analisi. 2.  II problema delle tangenti dalla  Geometrie  al calcolo Un'analisi storica del calcolo infinitesimale non pu6 che cominciare dalla geometria cartesiana. In effetti e solo nell'ambito dei problemi aperti dall'opera di Descartes e nel linguaggio elaborato nella  Geometrie  che le idee che porteranno al calcolo potranno essere formulate e sviluppate. Descartes aveva rivoluzionato la geometria introducendo una nozione di curva basata sulla sua equazione algebrica ( 2 ) : una curva e il luogo dei punti le cui coordinate  (x,y)  sod disfano un'equazione  P(x,y) = 0 nella quale  P(x,y)  e un arbitrario polinomio. Di questa nuova formulazione, evidente anche se implicita, Descartes si era servito da una parte per risolvere ( ) Sul problema della rappresentazione delle curve nella  Geometrie  si potra vedere il mio  Numeri, grandezze e Geometrie,  negli Atti del Convegno Descartes:  il Discorso sul metodo e i  Sa.ggi  di questo metodo,  Lecce 1987, come pure Particolo di H.Bos,  On the Representation  of Curves in  Descartes'  Geometrie,  Archive for History of Exact Sciences, 24 (1981) 295-338 (si vedano anche gli atti citati), che pure sostiene una tesi alquanto difFerente.  3 in tutta la sua generalita il cosiddetto problema di Pappo ; e dall'altra per porre ed avviare a soluzione il problema delle tangenti. Quest'ultimo non era certo un problema nuovo. Fin dall'antichita infatti il problema di tracciare la tangente ad una curva data era stato affrontato e risolto in molti casi: erano state cosi trovate le tangenti al cerchio, alle sezioni coniche, ed a un certo numero di altre curve sia algebriche che trascendenti. In ogni caso pero le curve della geometria classica sono tutte curve nominate , come ad esempio la parabola, l'iperbole, la spirale. Al contrario nella geometria cartesiana, proprio a causa dell'identificazione della curva con la sua equazione, si puo parlare di curve generiche . In corrispondenza, il problema delle tangenti prende una nuova forma; non si tratta piu come in passato di tracciare la tangente a questa o quella curva data, ma di trovare un metodo generale che consenta di tracciare la tangente ad una curva arbitraria. Su questo problema, che si puo formulare solo nell'ambito della geometria cartesiana ed in particolare delPidentificazione tra curva ed equazione, si affaticheranno i maggiori geometri nei decenni che separano la Geometrie  dal calcolo. Lo stesso Descartes, come e noto, da, nella  Geometrie  un metodo per le tangenti basato sulla molteplicita delle radici. Egli osserva che se  (x 0}  y Q )  e un punto della curva data, e cioe verificate l'equazione  F(x 0  ,yo)  = 0, una retta di equazione  x  =  ay  + 6, passante per il punto dato, sara tangente alia curva se, sostituendo  ay  +  b  al posto di  x  nelPequazione della curva, si ricava una nuova equazione  Q(y)  = 0 che ha una radice doppia nel punto  y 0  ( 3 ) . H problema geometri co delle tangenti yiene cosi ri dot to a quello puramente algebrico delle radici multiple. Quello comunque che va rilevato per il nostro proposito e che il metodo cartesiano e applicable solo alle curve la cui equazione e data mediante un polinomio  P(x  y  y).  Ad esso sfuggono invece non solo le curve trascendenti, ma anche quelle, peraltro algebriche, nella cui equazione entrano dei radicali, che devono essere eliminati prima di porre in moto la macchina cartesiana; un'operazione questa che benche sempre possibile ( 4 ), si scontrava di fatto con insbrmontabili difficolta computazionali ( ) In realta, la formulazione srcinale cartesiana consisteva nel trovare un cerchio (col centro sull'asse delle  x)  tangente alia curva nel punto dato. Quest'ultimo fu rimpiazzato da una retta da Florimond De Beaune, nelle sue  In Geometriam Renati Des  Cartes  No tae Breves, pubblicato assieme alia versione latina della  Geometrie: Geometria.  a  Ren a.to Des Cartes anno  1637   gallice  edit a, Lugduni Batavorum, Maire, 1649, pag. 147, e poi in tutte le seguenti edizioni. ( 4 ) Si veda ad esempio lo scritto di Fermat dal titolo  Novus secundarum et ulterioris ordinis   X non appena il numero ed il grado dei radicali presenti nell'equazione diveniva considerevole. Ne maggiore efficacia aveva tin secondo metodo, elaborato da Fermat, e che in linea di principio non era limitato ad equazioni polinomiali, essendo basato non sulla coincidenza delle radici ma sulla teoria dei massimi e dei minimi ( 5 ) . Per descrivere il metodo di Fermat ( 6 ) , consideriamo la curva OYB  in figura, alia quale si voglia tracciare la tangente nel punto  Y.  Si ponga come d'uso  OX   =  x,XY   =.y, e sia  T   il punto in cui la tangente  YT   incontra Passe delle ascisse. Si tratta evidentemente di determinare la  sottotangente TX   = /. Per fare questo, consideriamo un punto generico  C   sulla tangente alia curva, e poniamo  z  =  XA.  Dalla similitudine dei triangoli  TXY   e  TAC risulta:  AC   =  2/(1  +  z/t) radicum in analyticis usus,  e la  Appendix  ad'   superiorem methodum,  in  Oeuvres de Fermat, publiees par MM.P.Tannery et Ch.Henry, Paris, Gauthier-Villars, 1891, Volume 1, pag. 181. ( )  Method us ad disinquirendam ma.xima.rn et minimam. De tangentibus linearum curvarum, in Oeuvres de Fermat, cit.,vol.I, pag. 133-136. ( ) La descrizione del metodo di Fermat, che non troviamo nelle opere del tolosano, e compiuta seguendo l'articolo di C.Huygens,  Regula ad inveniendas tangentes linearum curvarum, in Oeuvres  Completes de Christiaan Huggens,  Nijoff,  La Haye, 1940, vol.20, pag. 242-255.
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