Equació de De Rham linealitzada. Aplicació a una cavitat resonant

Please download to get full document.

View again

All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
 0
 
 

Slides

  Equació de De Rham linealitzada. Aplicació a una cavitat resonant
Share
Transcript
  EQUAC16DEDE RHAM LINEALITZADA.APLICAC16 A UNA CAVITATRESONANT. J. Graells   C. Martin   J.M. Codina   X. Compte Departament d Electricitat i Electrbnica. Facultat de Fisica. Universitat de Barcelona. 1. Introducci6 Partint de 1 observaci6 segons la qual la interacci6 gravitatoria to un paper singular segons la geometrodinamica einsteniana, en el sentit que to- ta interaccio es influi:da per l acci6 del camp gravitatori, es planteja el pro- blema d analitzar 1 electromagnetisme maxwelliE sota aquest punt de vista amb l objecte de posaren evidencia fenomens, I explicaci6dels quals resta amagada dins les equacions d Einstein-Maxwell i/o que,potser a causade llur feblesa, encara no han estat detectats experimentalment. II. Linealitzaci6 de l operador vectorial d ones de De Rham Suposarem al llarg de tot el treball camps gravitatoris febles, i per tant els descriurem mitjancant la teorialinealitzada de la gravitaci6 d Einstein [ 1 ], [21, etc. Quant al camp electromagnetic, 1 estudiarem en funci6 de 1 equaci6 de De Rham que en un espai-temps corbat adopta l expressi6 segiient utilit zant el gauge de Lorentz:  2.1) (LiR-A)w = - Aw a CL A = 4>z Jw (Utilitzem la nomenclatura i conveni de signes de [3]). Calculant les derivades covariants i introduint en un pas intermedi 1 expressi6 del tensor de Riemann, hom obte 1 equaci6: 1s  ^^dRA^w=- ^ay CAwav+^ ^vR^a + ^ ^^A^y- ( yaAz]- que tss equivalent a (2.1), be que no explicitament covariant. Tanmateix aquesta expressio es idoniaper a la seva linealitzacio en el gauge de Hilbert- Lorentz. En efecte, tenint en compte que: - ^ C b) 7°`^ r ^^ = hw   ^ o (Hilbert-Lorentz) c) Menyspreant termer quadratics en haR resulta, si simbolitzem amb el subindex 1 els termes lineals: (2.3) ^ ^dR A)^ . - Aw d t day /^^, av - z r av A^^v + +zRw^R^ -u1z^w equacib fonamental de tot el treball. III. Metode pertorbatiu Fonamentarem el metode pertorbatiu [4] en la seguent descomposicio del potencial vector (3.1) A^= Aw+Aw on Aµ representa el camp electromagnetic sense el camp gravitatori, i Aµ es la correcci6 deguda a la pres^ncia del camp gravitatori. El sistema fisic que considerarem es el camp electromagnetic lliure pel qual Jµ = 0. Substituint (3.1) a (2.3) i menyspreant termer quadratics en les correc- cions, hom obte la seguentequacio: cz.z, Ar ,,x^ = h A^,dv - Z r zp 8 9t Z R^   16  Equacio diferencial lineal en derivades partials de tipus hiperbolic, que to la coneguda solucio integral (3.3) AY =IdYx ZCX - X ) I e; CX I on ha estat definit el torrent efectiu com (3.4) J ef. 4rz [h ^ vAw  ^cv -2 ^ ^^ A°` ^ + zR^,A^^ i DR (x-x ) es el conegutpropagador retardat de 1 equaciod ones. El metode pertorbatiu pot esser esquematitzatde la manera segiient: Ordre d   aproximacioZero U Dos etc. Estructura oL A ^w Awt Rw 1 ^ ^w µ ^  camp extern ay e q^h lliure « conditions h decontorn) Electro- Maxwell-Lorentz De Rham linealitzada Les mateixes de magne- ( Relativitat Restringida ) Lorentz de 1 aproximaciotisme d ordre u Equations ------   -   Einstein - Maxwell Les mateixes de Einstein - Maxwell Gravitacio linealitzada de1 aproximacio linealitzadaHilbert - Lorentz d   ordrezero Hilbert - Lorentz Figura 1 Evidentment encara que esreiteres indefinidament horn no obtindria una solucio de les equations d Einstein-Maxwell per tal tom no contempla el camp gravitatori com a fontdellmateix. 17  IV. Aplicacio a una cavitat resonant Per tal de fixar les idees, considerarem una cavitat resonant rectangu- lar de parets superconductores i situarem el sistema de coordenades d acord amb la figura 2. Com a camp gravitatori escollim unaona gravitatoria pla- na, monocromatica, de polaritzacio e, que incideix perpendicularment so- 4 i ^^x^G^^^^^   bre la cavitat E1 potencial vector del camp electromagnetic abans d inter- actuar amb 1 onagravitatoria cs: (4.1) Aw = ^^ ^{gym coS   t + n tNnsen^C}senZ^y ^s clar que es verifiquen les condi-cions de contorn i tambe esverifica el gauge de Lorentz A^ w = C ^ ^ A^J w A4Ct,01=Ar Ct,d)=O A,^ =0 Lesequacions que descriuen 1 ona gravitatoria son les segiients: H.Z, h4^ =Ct{S yS y^S zSz}e-mG- on Ka es el vector propagaciode components K° =W  S ° + SX ) Substituint-lo a (4.2), i agafant la part real, obtenim (4.3) ^t.wy = C+^b^ a^ - ^ ^ ^^} coSW t-x^ Trivialment es compleix el gauge de Hilbert-Lorentz, per tal com uti- litzem el transverse traceless gauge. Menyspreant el camp A^` com a font de camp gravitatori, i per tant anul^lant el tensor de Ricci a (3.2), aquesta es redueix a C4.4) t^tr,c: =h^^A^,dy-Zr^ xp,4d,9 is  Per a solucionar aquesta equacio hem de calcular - ne el segon membre, tss a dir Jef .. Per tant   determinem les contraccions seguents: key A^ re v =^ ^ C + 7 y cos W (t -x) ,^ on ^ i son les funcions: - ^ d. {- Mm sen. ^ t + N^, cos ^ t ^• sen ^ ^ R J t? _ ^ ^ Mm cos   r + Nm seR ^ t cos ^  ^ Substituint aquestesexpressions a (4.4), obtenim (4.5) Aw a = b^ G + { co sW t- x ^w m(M mcosw,„t + N,„ sen u^,„t^   senw ,„ y- WsenW t-x)^ w ^, - MmSencamt t rn +NMCOSw„,t^senw„^y} Per tal de simplificar aquesta equacio,definirem, com es practica corrent en electronica, Tangle ^n com: N M ^ m t m sen ^,^ = i Z ; cos ^m - 2 2 ^ M N - M rh t ^m M m t Niq Efectuant calculs senzills, pero llargs, arribem a la segiient expressioequivalent:  4.6) ^ ,d = 8z ^ G E   :w:^1- ^)fss   g-PmJ^ -cos[2: X0.-Pm]+11-£)lcos[X:xiZJ-ws[^X-9nJ)} 19
Related Search
Similar documents
View more
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks