CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

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  CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
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  C ÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRALDE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Francisco Javier Pérez González Departamento de Análisis MatemáticoUniversidad de Granada  I Licencia.  Este texto se distribuye bajo una licencia  Creative Commons  en virtud de la cual se permite:Copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra.Hacer obras derivadas.Bajo las condiciones siguientes: BY:   Reconocimiento.  Debe reconocer los créditos de la obra de la manera especificada por el autor oel licenciador (pero no de una manera que sugiera que tiene su apoyo o apoyan el uso que hacede su obra). $        \    No comercial.  No puede utilizar esta obra para fines comerciales.      C   Compartir bajo la misma licencia.  Si altera o transforma esta obra, o genera una obra derivada,sólo puede distribuir la obra generada bajo una licencia idéntica a ésta. Universidad de GranadaDpto. de Análisis MatemáticoProf. Javier PérezCálculo diferencial e integral  ´Indice general Prólogo  XVI Guías de lectura  XX 1. Axiomas de R . Principio de inducción 1 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. . . . . . . . . . . . 11.2. Axiomas de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1. Axiomas algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2.1. Relación de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3. Desigualdades y valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3.1. La forma correcta de leer las matemáticas . . . . . . . . . . 71.2.3.2. Una función aparentemente caprichosa . . . . . . . . . . . . 81.2.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. Principio de inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.1. Números y medida de magnitudes. Segmentos inconmensurables. . . . 261.4.1.1. La razón áurea y el pentagrama . . . . . . . . . . . . . . . . 27 II  Índice general  III 1.4.1.2. Medimos con números racionales . . . . . . . . . . . . . . . 281.4.2. Hacer matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4.3. Algunas razones para estudiar matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.4. Lo que debes haber aprendido en este Capítulo. Lecturas adicionales . . 32 2. Funciones elementales 33 2.1. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.1. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.1. Funciones polinómicas y funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . 392.2.2. Raíces de un número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.3. Potencias racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.4. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.5. Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.5.1. Interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.5.2. Crecimiento demográfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.6. Función potencia de exponente real  a  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.7. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.7.1. Medida de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.7.2. Funciones seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.7.3. Propiedades de las funciones seno y coseno . . . . . . . . . 452.2.7.4. Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante . . . 462.2.7.5. Las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente . . . . . 462.2.8. Las funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.8.1. Las funciones hiperbólicas inversas . . . . . . . . . . . . . . 492.2.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.10. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3. Sobre el concepto de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.3.1. El desarrollo del Álgebra y la invención de los logaritmos . . . . . . . 622.4. Lo que debes haber aprendido en este capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3. Números complejos. Exponencial compleja 65 3.1. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Universidad de GranadaDpto. de Análisis MatemáticoProf. Javier PérezCálculo diferencial e integral  Índice general  IV 3.2. Operaciones básicas con números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.1. Comentarios a la definición de número complejo . . . . . . . . . . . . 673.2.2. Forma cartesiana de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2.3. Comentarios a la definición usual  i  = √ − 1  . . . . . . . . . . . . . . . 683.2.4. No hay un orden en C compatible con la estructura algebraica . . . . . 693.3. Representación gráfica. Complejo conjugado y módulo . . . . . . . . . . . . . 693.3.1. Forma polar y argumentos de un número complejo . . . . . . . . . . . 713.3.2. Observaciones a la definición de argumento principal . . . . . . . . . . 733.3.2.1. Fórmula de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.3.3. Raíces de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.3.3.1. Notación de las raíces complejas . . . . . . . . . . . . . . . 763.3.3.2. La igualdad  n √  z  n √  w  =  n √  zw  . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.4. Funciones elementales complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.4.1. La función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.4.2. Logaritmos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.4.3. Potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.4.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.4.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.5. Aplicaciones de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.5.1. Movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.5.2. Circuitos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.5.3. Procesamiento digital de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4. Funciones Continuas y límite funcional 103 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.2.1. Propiedades básicas de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . 1054.2.2. Propiedades locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3. Teorema de Bolzano. Supremo e ínfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.3.1. La propiedad del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.3.2. Propiedad de extremo inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.3.3. Consecuencias del teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Universidad de GranadaDpto. de Análisis MatemáticoProf. Javier PérezCálculo diferencial e integral
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