Bombal-Gordon-Fernando-Paradojas-y-rigor-UCM.pdf

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    PARADOJAS Y RIGOR: LA HISTORIA INTERMINABLE Introducción Paradoxes are compact energy sources, talismans (The infinity and the mind,  R. Rucker  ) Sufficient unto the day is the rigor thereof (E. H. Moore ) La palabra  paradoja  procede del griego (  para y doxos ) y significa etimológica-mente “más allá de lo creíble”. Y ésta es probablemente su mejor definición. En gene-ral, una paradoja es una afirmación o razonamiento que nos lleva a una contradicción (real o aparente). Las paradojas, en un sentido muy amplio, aparecen constantemente en nuestra vida cotidiana, bien porque las descubrimos nosotros mismos en nuestro quehacer dia-rio, o bien porque nos las hacen ver (a veces por razones interesadas) en la forma “ re- sulta paradójico que en nombre de [ponga aquí el lector la virtud que desee]  se puedan  justificar tales actos” o “es sorprendente (¿paradójico?) que a pesar de tener la renta  per cápita más elevada de la región, el 80% de la población viva por debajo de los um-brales de la pobreza”.  Otro argumento habitual toma la forma “resulta llamativo (es decir, paradójico) la contradicción entre lo que dice tal [individuo, grupo, fabricante, etc..]  y lo que hace”, etc. Por otro lado, estamos acostumbrados a descubrir resultados sorprendentes y muchas veces paradójicos en las ciencias experimentales. Las dos grandes teorías físicas del siglo XX, la Teoría de la Relatividad y la Mecánica Cuántica (que proporcionan una explicación de la realidad y un nivel predictivo más exacto que cualquier otra teoría anterior), están plagadas de resultados paradójicos e incluso mutuamente incompatibles. El postulado de la constancia de la velocidad de la luz en el vacío para cualquier sistema inercial de referencia conduce a una serie de resultados paradójicos: la desaparición de las nociones de espacio y tiempo absolutos, la contracción del tiempo y de las longitu-des en la dirección del movimiento, el aumento de masa a velocidades relativistas; en fin, la concepción de la realidad física como un continuo espacio temporal con estructu-ra de variedad riemaniana, no necesariamente euclídea ( cfr. la deliciosa obrita de divul-gación [Ei]). La Mecánica Cuántica, por su parte, niega de entrada el principio de causa-lidad (entendido como la posibilidad de predecir el estado futuro de un sistema físico con una probabilidad tan cercana a 1 como se quiera, mediante un análisis suficiente-mente elaborado del fenómeno observado). La inevitable interacción del observador con el hecho observado lleva al  Principio de Complementariedad de N. Bohr , que establece la imposibilidad de realizar una descripción causal (en términos de transferencia de   - 2 -energía o momento) de los fenómenos atómicos que sea a la vez una descripción espa-cio temporal (en términos de posición), ya que ambas requieren disposiciones experi-mentales mutuamente excluyentes. Sin embargo, ambas  descripciones, son necesarias  para la comprensión del fenómeno. La cuantificación de este principio conduce al  prin-cipio de incertidumbre , formulado por primera vez por W.   Heisenberg en 1926 , una de cuyas consecuencias es la dualidad onda-partícula tan típica del mundo microfísico: las  partículas subatómicas se nos aparecen a veces como diminutas balas tremendamente veloces, y otras veces presentan fenómenos de difracción e interferencia propios de las ondas, dependiendo de la disposición experimental que empleemos. El comportamiento de las cosas a escala microcósmica es, simplemente, distinto al que estamos habituado. Sin embargo, al menos podemos decir , con el premio Nobel R. P. Feynman , que “to-das [las partículas] están chifladas, pero exactamente de la misma manera”  ([Fe; Cap. 6]). Algunas interpretaciones son aún más extremas. Así, P. Jordan  sostenía que las observaciones no sólo alteran lo que se mide, sino que lo srcinan : por ejemplo, al me-dir la posición de un electrón, éste es “forzado a asumir una posición definida; previa-mente no estaba en general allí o aquí… Si mediante otro experimento se mide la velo-cidad del electrón, se le obliga a decidirse por un valor exacto. En tal decisión, la to-mada anteriormente acerca de la posición es completamente eliminada.”  De modo que “nosotros mismos producimos los resultados de las mediciones.” ([Jo]). Así pues, la Física Moderna parece haberse instalado confortablemente en el con-vencionalismo: las teorías proporcionan descripciones y predicciones cada vez más exactas de los hechos observados, sin pretender encontrar una explicación última de la realidad. A este respecto es quizá paradigmática la reflexión que hace R. Feynman  a cuenta de la discusión del conocido experimento para detectar o bien la energía o bien la  posición de los electrones que pasan a través de una pantalla con dos agujeros. Como es  bien sabido, en el primer caso los electrones se comportan como ondas, y en el segundo caso como partículas. Dice Feynman:  La cuestión es saber cómo funciona realmente. ¿Qué mecanismo es el cau- sante de todo esto? Nadie sabe de ningún mecanismo. Nadie puede dar una ex- plicación del fenómeno más profunda que la que yo he dado; o sea, una mera descripción… La formulación matemática puede hacerse más precisa… Pero el misterio profundo es el que acabo de describir y, en la actualidad, nadie puede ir más al fondo. [Fe: Cap. 6] En el mismo sentido se pronuncia S. Hawking , quien, con ocasión del 25 ani-versario de los Premios Príncipe de Asturias, declaraba recientemente: Una teoría es tan sólo un modelo matemático para describir las observacio-nes, y no tiene derecho a identificarse con la realidad, sea lo que sea lo que esto  signifique. Podría ser que dos modelos muy diferentes lograran describir las mismas observaciones: ambas teorías serían igualmente válidas, y no se podría decir que una de ellas fuera más real que la otra. [El País, 13/04/2005; pág. 38]. Pero, ¿qué tienen que ver el misterio y las paradojas con el reino del rigor y exactitud que se supone son las Matemáticas? El capítulo titulado “ Paradoja perdida y  paradoja recuperada” del clásico [KN] comienza así: “Quizá la mayor de todas las paradojas es que haya paradojas en la mate-mática. No nos sorprende descubrir inconsistencias en las ciencias experimenta-les… Verdaderamente, el testamento de la ciencia está situado en un fluir tan   - 3 - continuo que la herejía de ayer es el evangelio de hoy y el fundamentalismo de mañana…. Sin embargo, como la matemática se construye sobre lo viejo, pero no lo descarta, como sus teoremas se deducen de postulados con los métodos de la lógica, no sospechamos, a pesar de haber sufrido cambios revolucionarios, que sea una disciplina capaz de engendrar paradojas.” Como veremos en las páginas siguientes, lo cierto es que las paradojas han apa-recido con profusión en las Matemáticas, y han jugado un papel decisivo en su desarro-llo. Los intentos de resolver o evitar una determinada paradoja han supuesto, cuanto menos, una mayor comprensión del problema estudiado. La confrontación entre el re-sultado obtenido y lo que uno esperaba, produce siempre un efecto de sorpresa y es un toque de atención que nos induce a reflexionar. Y es este efecto dinamizador de la críti-ca y la reflexión lo que hace tan importante el valor de las paradojas en el desarrollo de la Ciencia en general y de las Matemáticas en particular. Por otro lado, la idea de demostración rigurosa depende, obviamente, del contexto y del entorno cultural. En los escritos matemáticos ordinarios (incluso los de hoy en día),  sólo  se detallan los pasos no  puramente mecánicos; aquellos que suponen una idea nueva, una construcción srcinal o la introducción de algún elemento nuevo. Pero el consenso sobre lo que es o no un paso obvio o trivial, ha ido cambiando a lo largo de la historia. Así, por ejemplo, el hecho de que una función (real de variable real) continua, definida en un intervalo cerrado y que toma valores de signo opuesto en los extremos del intervalo, deba anularse en algún punto del interior del intervalo, era algo obvio para los matemáticos del siglo XVIII (y gran parte de los del siglo XIX); Actualmente este hecho es un Teorema  no trivial que se demuestra  en los primeros cursos de la Univer-sidad. Por supuesto, el problema es decodificar adecuadamente las palabras que apare-cen en el enunciado de la cuestión, especialmente las nociones de  función, número real y continuidad  . Pero incluso en los aparentemente sólidos  Elementos de Euclides  se  pueden encontrar construcciones que no están claramente justificadas con la sola asun-ción de los 5 Postulados fijados por el autor. Ya en la Proposición I.1, en que se prueba que sobre cualquier segmento AB  se puede construir un triángulo equilátero, (se trazan circunferencias de centros en A y en B , de radio la longitud del segmento, y el punto de corte C  es el otro vértice del triángulo buscado) aparece una dificultad: ¿Por qué las dos circunferencias se cortan? Nada en los postulados ni en las nociones comunes  permite asegurarlo. Hace falta un nuevo axioma de continuidad  . Otro ejemplo: supongamos cuatro puntos sobre la recta, A , B , C , D ; supongamos que B  se halle entre A  y C  y que C  esté situado entre B  y D . Parece razonable deducir que, necesariamente, B  está ente A  y  D , ¿no?. Pues, sorprendentemente, no es posible demostrar este resultado a partir de los axiomas de Euclides (Este hecho fue detectado por M. Pasch  nada menos que en 1882). La revisión crítica de  Los Elementos  fue llevada a cabo por D. Hilbert , alrededor de 1900, quien tuvo que elevar la lista de los postulados hasta 20 para desarrollar co-rrectamente la Geometría Euclídea. En la evolución de la noción de rigor a lo largo del tiempo, juega un papel decisivo la  paradoja , que rompe con los principios establecidos y obliga a crear un nuevo para-digma del rigor. A lo largo de las páginas que siguen tendremos ocasión de examinar distintos ejemplos de este proceso.   - 4 -  1.- Algunos ejemplos de falacias y paradojas. Una verdad sin interés puede ser eclipsada por una falsedad emocionante (  A. Huxley) Las falacias  (afirmaciones absurdas y contradictorias que aparentan ser conse-cuencia lógica de un razonamiento correcto, pero que esconden un error en el mismo) son las paradojas más inocuas y, probablemente, las más divertidas. A veces se presen-tan en forma de acertijo o problema, una especie de reto al lector para que descubra dónde se encuentra el error en el razonamiento. Su uso razonado puede ser muy útil en la enseñanza: la confusión e inseguridad que provocan en el estudiante pueden ser utili-zadas para despertar el espíritu crítico y aumentar la capacidad de análisis. Veamos al-gunas de ellas: Las falacias aritméticas  suelen ser muy fáciles de desmontar. Muchas de ellas in-cluyen la división por 0, más o menos camuflada, o surgen de ignorar que todo número  positivo posee dos  raíces cuadradas. Otras veces, el truco consiste en envolver el pro- blema en un exceso coloquial, que disimula el error introducido. Es paradigmático el ejemplo de la bien conocida: Falacia de la herencia :  Con distintas variantes en las cantidades y la naturaleza de la herencia, se trata de lo siguiente: un padre de 3 hijos, dueño de un rebaño de 17 ovejas, al morir dispone en su testamento que el rebaño se divida entre sus hijos de la siguiente forma: La mitad para el mayor, la tercera parte para el mediano y la novena  parte para el menor, con la condición de no sacrificar ninguna res.  Ante la dificultad de cumplir con los deseos de su padre, los hermanos acuden a un tío ganadero-matemático que tenían, que resuelve el problema así: Primero, les deja una oveja de su rebaño. Del total de 18 ovejas, entrega la mitad (esto es, 9) al hermano mayor, la tercera parte (esto es, 6) al mediano y, finalmente, la novena parte (es decir, 2) al pequeño. Así ha entregado 9+6+2 = 17 ovejas, con lo que le queda una, la suya, que vuelve a incorporar a su rebaño. Así que ¿  problema resuelto? Obviamente, no. Éste es un caso típico en el que el narrador trata de confundir al oyente con una abundancia de información que oculta la principal, que es que los datos iniciales son erróneos. El padre sería un buen ganadero, pero ¡no sabía sumar fraccio-nes, ya que 11117123918 + + = ≠ ! Realmente, de hacer caso al testamento, el mayor de los hermanos debería recibir 8 ovejas y media, el mediano 5 ovejas y 2/3, y el menor 1 oveja y 8/9 de oveja: en total 16 ovejas y 1/18, esto es, los 17/18 partes del rebaño de 17 ovejas. Quedarían, por tanto, 17/18 de oveja sin repartir (1/18 del total). Lo que el astuto tío hace, para evitarse líos, es repartir el rebaño ampliado (17+1), de acuerdo con las condiciones del testamento. De esta manera reparte 17/18 del nuevo rebaño (es decir, 17 ovejas), y al final le queda
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