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Integral Verano 2015 - I/ ÁlgebraTema 1
 Álgebra
IVOI2X1
TEMA: 1
Leyes de Exponentes – Valor numérico
I. EXPONENTES Y RADICALES
En este capítulo le damos signifcado a
expresiones como a
n/m
 en las que el exponente n/m es un número racional.
 A. Exponentes enteros
Si a es cualquier número real y n es un número entero positivo, entonces la n - ésima potencia de
a
 es:
"n"factores
aa.a.a...a

n
=
Donde el número se conoce como la base y n como el exponente. 
Ejemplo:
(a) 5
3
 
=
 5.5.5
=
 125(b) (
 –
2)
4
 
=
 (
 –
2)(
 –
2)(
 –
2)(
 –
2)
=
 16(c)
 –
3
5
 
=
 
 –
 3.3.3.3.3
=
 
 –
 243(d) 22228333327
3
 – –==Recuerda:
(+)
par
 = +(–)
par
 = +(+)
impar
 = +(–)
impar
 = –
B. Exponentes cero
Si a es un número real diferente de cero, elevado al exponente cero, el resultado es 1. a
0
 
=
 1
Ejemplo:
(a) 34
0
 = 1(b) (
 –
7)
0
 
=
 1(c)
 –
 9
0
 
=
 
 –
1(d) (2
4
 
 –
 4
2
)
0
 
=
 no defnido
 
C. Exponentes negativos
Si
a
 es un número real diferente de cero y
n
 es un número entero positivo, entonces:11
 –
==
 
Ejemplo:
(a) 111133339
 
2 –2
===
(b)
( )
33
1111155555125
 –
 – –=== –
(c)
33
122.2.282
 –
===
(d)
44
3222221623333381
 –
 –===
 
D. Exponentes racionales
Si
n
 es cualquier entero positivo, entonces la
raíz n-ésima principal de a se defne como:
n
ab
=
 signifcado b
n
 
=
 aPara cualquier exponente racional m/n donde m y n son enteros y n
>
 0, defnimos:
 
Ejemplo:
(a)
12
993
==
(b)
133
1251255
==
(c)
( )
32
4428
33
===
(d)
15155
1113223232
 –
=== Recuerda:
imparimparparpar
+=+ –=+=+ –=
£
II. LEYES DE LOS EXPONENTES
L1: Producto de potencias de bases iguales.a
m
. a
n
 
=
 a
m + n
DESARROLLO DEL TEMA
 
2
Integral Verano 2015 - I/ Álgebra
Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria 
Tema 1
 
Leyes de Exponentes Valor numerico
L2: Cociente de potencias de bases iguales.
nm
aa;a0a
n –m
=
 
L3: Potencia de un producto.(a.b)
n
 
=
 a
n
 . b
n
L4. Potencia de potencia.(a
n
)
m
 = a
n.m
L5. Potencia de un cociente.aa;b0bb
nnn
=
 
L6. Exponentes sucesivos.
a = a = a
nmpnqr
 
Ejemplo:
(a) x
4
. x
2
. x
 –3
 
=
 x
4+2–3
 
=
 x
3
 [L1](b)
( )
323252
zZZZz
3 –+ –
===
 [L2](c) (x
2
.y
3
)
5
 
=
 x
2.5
. y
3.5
 
=
 x
10
. y
15
 [L3](d) ((x
2
)
 –3
)
 –2
 
=
 x
2.(–3).(–2)
 
=
 x
12
 [L4] 
33322.36
xxxyyy
==
(e) [L5]L7. Raíz de un producto. 
nnn
a.ba.
 
b
=
L8. Raíz de un cociente.
nnn
aabb
=Ejemplo:
(a) 9.259.253.515
===
(b)
( )
333
8.278.272.36
 –===
(c)
444
8181316216
==
L9. Raíz de raíz
Caso 1
npn.m.pm
aa
=
 
Ejemplo:
(a)
32.3.212
252525
==Caso 2
pnn.m.pmrstrmpspt
a.b.ca.b.c
=Ejemplo:
(a)
343.2.4242322.2.43.4216122
a.b.ca.b.ca.b.c
==
 
Caso 3
( )
n.m.ppnmr.msptrst
a.a.aa
++
=
 
Ejemplo:
3 2 3.2.4 244 (2.2 3).4 ( 5)2 3 5 23
(a) x . x . x x x
x x+ +
III. ECUACIONES EXPONENCIALES
Es aquella igualdad en la cual la incógnita se encuentra en el exponente. Es decir, si: a
 x
 
=
 a
n
 
 x
=
 n ; a > 0
 a
1
Ejemplo:
Resuelva:9
 x + 1
 
=
 27
 x – 12
Buscamos bases iguales: (3
2
)
 x + 1
 
=
 (3
3
)
 x – 12
 Aplicamos L4: 3
2x + 2
 
=
 3
3x – 36
Luego:2x
+
 2
=
 3x
 –
3638
=
 x
 
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Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria 
Tema 1
 
Leyes de Exponentes Valor numerico
Problema 1
Calcule:
n3n2nn1n
22+2M22
+++
+=+
 
Nivel intermedio 
Resolución: 
n32n1
222113MM3221
++==+
Respuesta:
133
Problema 2
Si: a
a
 
=
 3, halle:
a1
a
Pa2
+
=+
.
 Nivel intermedio
Resolución: 
Piden:
( )
( )
a1a
aaa3
Pa2Pa2P32
+
=+=+=+
 
P
=
29
Respuesta: 29 
Problema 3
Calcule:
7
3L333
=
 Nivel intermedio 
Resolución: 
( )
2.2.28772.2.2871.21.21
33L33
++
==
 L
=
 1
Respuesta: 1
PROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS DE CLASE
 NIVEL I
1. Reducir: 
n6nn3
22.32H2.2
++
 –=
 A) 1 B) 1/2 C) 2D) 4 E) 1/42. Determine el valor de “x”, si: 3
x + 1
 + 3
x
 3
x – 1
 = 99 A) 2,5 B) 3 C) 3,5D) 4 E) 23. Calcule: H = 32 + 6425 – 8 –1/39 –4 –2 –1  A) 6 B) 8 C) 9D) 10 E) 2
 NIVEL II
4. Halle: “n + 2”  
13n4n5
22222
+=+
 A) 9 B) 11 C) 13D) 15 E) 105 Si: P(x + 2) = x
2
 + x + 1 Halle: M = P(0) + P(2) A) 2 B) 3 C) 4D)
 –
 3 E) 5
6. Al simplifcar:
 x.xEx.x
=
 se obtiene una expresión de la forma:
ab
x Calcule: a b A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 77. Si: P(x + 3) = 3x 5 Q(x 2) = 2x + 3 Halle: T = P(Q(1)) A) 20 B) 13 C) 22D) 11 E) 9
8. El exponente fnal de “x” es:
 
334333
x.x.xHx.x
=
 A) 2 B) 1 C) 4C) 1/2 E) 1/49. Si: P(x + 2) = 3x – 1; Q(x) = 2x + 7 Halle: H = Q(P(2)) + P(Q(2)) A) 32 B) 33 C) 37D) 31 E) 35
 
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Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria 
Tema 1
 
Leyes de Exponentes Valor numerico
10. Reduce: 
71643324
xyxExyxy
+=+
 A) xy B) x C) y/xD) x/y E) y11. Resuelve: 
9x3x3
77777
+=+
 A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 912. Halle el valor de “x” en: 
53x
xx2228
=
 A) 10/3 B) 10 C) 3D) 1 E) 513. Reduce: Nx.x.x
abbcacabbcca
=
 A) x B) x
 –1
 C) x
0
D) x
abc
 E) x
a–b–c
 NIVEL III
14. Sabiendo que: F(x + 5) = 2x –1 F(Q(x) + 1) = 4x +3 Halle: F = Q[F(7)] A) 10 B) 12 C) 15D) 18 E) 2215. Sabiendo que: 
2
xy33xy13x2y9x223xy
+
=
 Halle:
xLy
=
 A) 3
 –5
 B) 3
 –4
 C) 3
 –3
D) 3
 –2
 E) 3
 –1
of 4