1
Anexa 4A
 – 
 
Tematica pentru proba scrisă
 
Matematică
 
NOTA
. Tematica coincide cu programa de bacalaureat in vigoare mai puțin conținuturile
 referitoare la Matematici financiare, clasa a X-a.
 
CLASA a IX-a
Mulţimi
 
şi elemente de logică matematică
 
 
Mulţimea
 n
umerelor reale: operaţii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos, partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real; operaţii cu intervale de numere reale
 
 
Propoziţie, predicat,
 cuantificatori
 
Operaţii logice elementare (negaţie, conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă), corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune, incluziune, egalitate); raţionament prin reducere la absurd
 
 
Inducţia matematică
 
Şiruri
 
 
Modalităţi de a defini un şir, şiruri mărginite, şiruri monotone
 
 
Şiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general în funcţie de un termen dat şi raţie, suma primilor
n
 termeni ai unei progresii
 
Condiţia ca
n
 
numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică, pentru
3
n
 
Funcţii; lecturi grafice
 
 
Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de
mulţimi numerice; condiţii algebric
e pentru puncte aflate în cadrane; drepte din plan de forma
m x
 
 sau
m y
 
, cu
m
 
 
Funcţia: definiţie, exemple, exemple de corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi de a descrie o funcţie, lecturi grafice. Egalitatea a două funcţii, imaginea unei mulţimi printr 
-o
funcţie, graficul unei funcţii, restricţii ale unei funcţii
 
 
Funcţii numerice
}),:{(
 
 
 D D f   F 
; reprezentarea geometrică a graficului: intersecţia cu axele de coordonate, rezolvări
 
grafice ale unor ecuaţii şi inecuaţii de forma
 
)()(
 x g  x f  
 
,
),,,(
 
; proprietăţi ale funcţiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăţi: paritate/imparitate, simetria graficului faţă de d
repte de forma
m x
 
,
m
, periodicitate
 
Compunerea funcţiilor; exemple pe funcţii numerice
 
Funcţia de gradul I
 
 
Definiţie;
 
reprezentarea grafică a funcţiei
:
 f  
,
bax x f  
 
)(
, unde
ba
,
,
intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia
0)(
 
 x f  
 
 
Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei: monotonia şi semnul funcţiei; studiul monotoniei prin semnul diferenţei
)()(
21
 x f   x f  
 
 (sau prin studierea semnului raportului
2121
 )()(
 x x x f   x f  
,
21
,
 x x
,
21
 x x
 
)
 
Inecuaţii de forma
0
bax
 
),,(
 
 studiate pe
 sau pe intervale de numere reale
 
2
 
Poziţia relativă a două drepte, sisteme de ecuaţii de tipul
 pnymxcbyax
,
 pnmcba
 ,,,,,
 numere reale
 
Sisteme de inecuaţii de gradul I
 
Funcţia de gradul al II
-lea
 
Reprezentarea grafică a funcţiei
:
 f  
,
cbxax x f  
 
 2
)(
, cu
cba
 ,,
 
şi
0
a
 
intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia
0)(
 
 x f  
, simetria faţă de drepte de
forma
m x
 
, cu
m
 
 
Relaţiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de forma
 
 p xy s y x
, cu
 p s
,
 
Interpretarea geometrică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei de gradul al II
-lea
 
Monotonie; studiul monotoniei prin semnul diferenţei
)()(
21
 x f   x f  
 
 
sau prin rata creşterii/ descreşterii:
2121
 )()(
 x x x f   x f  
,
21
,
 x x
,
21
 x x
 
, punct de extrem, vârful parabolei
 
Poziţionarea parabolei faţă de axa
Ox
, semnul funcţiei, inecuaţii de forma
0
2
 cbxax
 
),,(
 
,
cba
 ,,
,
0
a
, studiate pe
 sau pe intervale de numere reale, interpretare
geometrică: imagini ale unor intervale (proiecţiile unor porţiuni de parabolă pe axa
Oy
)
 
Poziţia relativă a unei drepte faţă de o parabolă: rezolvarea sistemelor de form
a
 ycbxax  ynmx
2
,
nmcba
 ,,,,
 
Vectori în plan
 
Segment orientat, vectori, vectori coliniari
 
Operaţii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăţi ale operaţiei de adunare; înmulţirea cu un scalar, proprietăţi ale înmulţirii cu un scalar; condiţia de coliniaritate, descompunerea după doi vectori necoliniari
 
Coliniaritate, concurenţă, paralelism – 
 
calcul vectorial în geometria plană
 
 
Vectorul de poziţie al unui punct
 
 
Vectorul de poziţie a punctului care
 împarte un segment într-un raport dat, teorema lui
Thales (condiţii de paralelism)
 
 
Vectorul de poziţie a centrului de greutate al unui triunghi (concurenţa medianelor unui
triunghi)
 
Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva
Elemente de trigonometrie
 
Cercul trigonometric
, definirea funcţiilor trigonometrice:
]1,1[]2,0[:sin
 
,
]1,1[]2,0[:cos
 
,
2\],0[:tg
,
),0(:ctg
 
 
Definirea funcţiilor trigonometrice:
]1,1[:sin
 
,
]1,1[:cos
 
,
 
 D
\:tg
, cu
 Z
 D
 |2
,
 
 D
\:ctg
, cu
}|{
 Z
  D
 
 
3
 
Reducerea la primul cadran; formule trigonometrice:
)sin(
 ba
,
)sin(
 ba
,
)cos(
 ba
,
)cos(
 ba
,
a
2sin
,
a
2cos
,
ba
 sinsin
 
,
ba
 sinsin
 
,
ba
 coscos
 
,
ba
 coscos
 
 (transformarea sumei în produs)
Aplicaţii ale trigonometriei şi ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană
 
 
Produsul scalar a doi vectori
: definiţie, proprietăţi. Aplicaţii: teorema cosinusului, condiţii
de perpendicularitate, rezolvarea triunghiului dreptunghic
 
Aplicaţii vectoriale şi trigonometrice în geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea
triunghiurilor oarecare
 
Calcularea razei cercului înscris şi a razei cercului circumscris în triunghi, calcularea
lungimilor unor segmente importante din triunghi, calcularea unor arii
CLASA a X-a
Mulţimi de numere
 
 
 Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional, iraţional şi reale ale unui număr  pozitiv nenul, aproximări raţionale pentru numere reale
 
 
Radical de ordin
n
 (
 N
n
 
şi
2
n
) dintr-
un număr, proprietăţi ale radicalilor 
 
 
 Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de
logaritmare
 
Mulţimea
C
. Numere complexe sub formă algebrică, conjugatul unui număr complex, operaţii cu numere complexe. Interpretarea geometrică a operaţiilor de adunare şi de scădere a numerelor complexe şi a înmulţirii acestora cu un număr real
 
 
Rezolvarea în
C
 
a ecuaţiei de gradul al doilea având coeficienţi reali. Ecuaţii bipătrate
 
Funcţii şi ecuaţii
 
 
Funcţia putere cu expone
nt natural:
 D f  
 
:
,
n
 x x f  
 
)(
,
N
n
,
2
n
 
şi funcţia radical:
 D f  
 :
,
n
 x x f  
 
)(
,
N
n
 
şi
2
n
, unde
),0[
 
 D
 pentru
n
 
 par şi
 D
 pentru
n
 impar
 
Funcţia exponenţială:
),0(:
 
 f  
,
 x
a x f  
 
)(
,
),0(
 
a
,
1
a
 
şi funcţia logaritmică:

),0(:
 f  
,
 x x f  
a
log)(
 
,
),0(
 
a
,
1
a
 
 
Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcţii inversabile: definiţie, proprietăţi grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie să fie inversabilă
 
 
Funcţii trigonometrice directe şi inverse
 
 
Re
zolvări de ecuaţii folosind proprietăţile funcţiilor:
 
1. Ecuaţii care conţin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3
 
2. Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice
 
3. Ecuaţii trigonometrice:
a x
 
sin
,
a x
 
cos
,
]1,1[
a
,
a x
 
tg
,
a x
 
ctg
,
a
,
)(sin)(sin
 x g  x f  
 
,
)(cos)(cos
 x g  x f  
 
,
)(tg)(tg
 x g  x f  
 
,
)(ctg)(ctg
 x g  x f  
 
 
Notă:
 Pentru
toate tipurile de funcţii se vor studia: intersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia
0)(
 
 x f  
, reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: monotonie, bijectivitate, inversabilitate,
 semn, convexitate.
Metode de numărare
 
 
Mulţimi finite ordonate.
 
 Numărul funcţiilor
 B A f  
 
:
, unde
 A
 
şi
 B
 
sunt mulţimi finite
 
 
Permutări
 
 
4 -
numărul de mulţimi ordonate care se obţin prin ordonarea unei mulţimi finite cu
n
 elemente -
numărul funcţiilor bijective
 B A f  
 
:
, unde
 A
 
şi
 B
 
sunt mulţimi finite
 
 
Aranjamente -
numărul submulţimilor ordonate cu câte
 elemente fiecare,
n
 
, care se pot forma cu cele
n
 
elemente ale unei mulţimi finite
 -
numărul
 
funcţiilor
injective
 B A f  
 
:
, unde
 A
 
şi
 B
 
sunt mulţimi finite
 
 
Combinări
 
 – 
 
numărul submulţimilor cu câte
 elemente, unde
n
 
0
, ale unei mulţimi
finite cu
n
 
elemente. Proprietăţi: formula combinărilor complementare, numărul tuturor
s
ubmulţimilor unei mulţimi cu
n
 elemente
 
Binomul lui Newton
Geometrie
 
Reper cartezian în plan, coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale,
coordonatele produsului dintre un vector şi un număr real, coordonate carteziene ale unui
 punct
din plan, distanţa dintre două puncte în plan
 
 
Ecuaţii ale dreptei în plan determinate de un punct şi de o direcţie da
t
ă şi ale dreptei determinate de două puncte distincte
 
 
Condiţii de paralelism, condiţii de perpendicularitate a două drepte din plan; calcu
larea unor
distanţe şi a unor arii
 
CLASA a XI-a
ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL ŞI SISTEME DE ECUAŢII LINIARE
 
Permutări
 
 
 Noţiunea de permutare, operaţii, proprietăţi
 
 
Inversiuni, semnul unei permutări
 
Matrice
 
Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de matri
ce
 
Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, înmulţirea unei matrice cu un scalar, proprietăţi
 
Determinanţi
 
 
Determinant de ordin
n
, proprietăţi
 
Sisteme de ecuaţii liniare
 
 
Matrice inversabile din
)(
C
n
 M 
,
4
n
 
 
Ecuaţii m
atriceale
 
Sisteme liniare cu cel mult 4 necunoscute, sisteme de tip Cramer, rangul unei matrice
 
Studiul compatibilităţii şi rezolvarea sistemelor: proprietatea Kroneker 
-Capelli, proprietatea Rouché, metoda Gauss
 
Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi şi
coliniaritatea a trei puncte în plan
ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
 
Limite de funcţii
 
 
 Noţiuni elementare despre
 
mulţimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolu
rile
 
şi
 
 
Funcţii reale de variabilă reală: funcţia polinomială, funcţia raţională, funcţia putere, funcţia radical, funcţia logaritm, funcţia exponenţială, funcţii trigonometrice directe şi inverse
 
of 6