Un elemento de lámina sin grados de libertad rotacionales para el análisis de cáscaras con quiebres y ramificadas

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  Un elemento de lámina sin grados de libertad rotacionales para el análisis de cáscaras con quiebres y ramificadas
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  Rev. Int. M´et. Num. C´alc. Dis. Ing.Vol.  21, 4,  385-411 (2005)  Revista Internacional deM´etodos Num´ericos paraC´alculo y Dise˜no en Ingenier´ıa Un elemento de l´amina sin grados de libertadrotacionales para el an´alisis de c´ascaras con quiebresy ramificadas Fernando G. Flores Universidad Nacional de C´ordobaCasilla de Correo 9165000 C´ordoba, ArgentinaTel/ Fax: 54-351-433 41 41e-mail: fflores@efn.uncor.edu Eugenio O˜nate Centro Internacional de M´etodos Num´ericos en Ingenier´ıaEdificio C1, Gran Capit´an s/n08034 Barcelona, Espa˜naTel.: 34-93-205 70 16; Fax: 34-93-401 65 17e-mail: onate@cimne.upc.edu Resumen El presente trabajo extiende las capacidades de los elementos de l´amina sin rotaciones (BST, EBST), de-sarrollados para el an´alisis de superficies suaves, al estudio de superficies con quiebres y ramificadas. Serealiza una redefinici´on de la curvatura en funci´on del cambio de ´angulo entre las normales al elemento, locual permite por un lado tratar cambios de ´angulos arbitrariamente grandes entre elementos adyacentes ypor otro introducir quiebres. Luego se generaliza esta idea al caso de l´aminas ramificadas. Se introducela idea de rotaci´on promedio de la arista en funci´on de las rigideces relativas de los elementos adyacentes.Se presentan varios ejemplos en r´egimen lineal y no lineal que muestran que la formulaci´on conduce a losresultados correctos. Palabras clave:  elementos finitos, l´ aminas, sin rotaciones, ramificadas, grandes deforma-ciones. A ROTATION FREE SHELL ELEMENT FOR THE ANALYSIS OF KINKED AND BRANCHEDSURFACES Summary This paper extends the capabilities of previous rotation-free shell elements, BST and EBST developed to dealwith smooth and homogeneous surfaces, to the analysis of kinked and branching surfaces. The computationof the curvature tensor is first redefined in terms of the angle change between the normals at the adjacentelements. This allows to deal with arbitrary large angles between adjacent elements and to treat kinkedsurfaces. A relative stiffness between elements is introduced to consider non-homogeneous surfaces. Thisidea is latter generalized to deal with branching shells. Several linear and non-linear examples are presentedshowing that the formulation leads to the correct results. Keywords:  finite elements, shells, rotation-free, branching, large strains. c  Universitat Polit`ecnica de Catalunya (Espa˜na). ISSN: 0213–1315 Recibido: Abril 2005 Aceptado: Mayo 2005  386  F.G. Flores y E. O˜nate INTRODUCCI´ON El desarrollo de t´ecnicas num´ericas para resolver problemas de l´aminas utilizando ´unica-mente los desplazamientos como inc´ognitas ha estado principalmente centrado en el m´etodode diferencias finitas 1 , 2 , 3 . Sin embargo la idea de desarrollar elementos finitos de l´aminas yvigas sin grados de libertad de rotaci´on no es nueva 4 , 5 y se han realizado distintos intentosdesde los comienzos del m´etodo 6 , 7 , 8 , 9 , 10 . Pero s´olo en la ´ultima d´ecada se ha logrado obtenerelementos de l´amina sin rotaciones confiables para aplicaciones industriales 11 , 13 , 14 , 15 . Todaslas aproximaciones tienen en com´un la utilizaci´on de una vecindad (parcela) de elementos alos fines de definir la interpolaci´on de la geometr´ıa y los desplazamientos. El aspecto distin-tivo principal entre las distintas propuestas es la forma en que se aproximan las curvaturasy la formulaci´on te´orica utilizada. Uno de los principales aspectos que queda por resolveren forma satisfactoria es el tratamiento de superficies que no son suaves o que ramifican.La soluci´on de estos aspectos es imprescindible si se pretende utilizar este tipo de elementosen el modelado de problemas aeron´auticos o en estructuras de ingenier´ıa civil, entre otros.En particular el caso de l´aminas ramificadas (esto es, cuando en una arista concurren tres´o m´as superficies) es el que presenta el mayor desaf´ıo.En este trabajo se abordan problemas tridimensionales con especial ´enfasis en l´aminasno suaves y ramificadas. Es por un lado una extensi´on al an´alisis de l´aminas ramificadas de desarrollos previos sobre elementos de l´aminas tridimensionales sin grados de libertad 13 , 15 y por otro una extensi´on a tres dimensiones de un elemento unidimensional para l´aminasde revoluci´on capaz de tratar quiebres y ramificaciones 16 .Un bosquejo de este trabajo es el siguiente: En la pr´oxima secci´on se presenta un breveresumen de los par´ametros principales que definen la deformaci´on de una l´amina. En la secci´on siguiente se reinterpreta el c´alculo de la curvatura en el elemento BST 13 y se muestrac´omo tratar l´aminas con quiebres. En la secci´on posterior se extienden los desarrollosanteriores al tratamiento de l´aminas ramificadas. A continuaci´on se muestra c´omo extenderlos resultados anteriores al elemento con aproximaci´on cuadr´atica EBST 15 y se completala formulaci´on incluyendo la aproximaci´on membranal y los aspectos principales referidosa la evaluaci´on de la matriz de rigidez. En la ´ultima parte se realizan las evaluacionesnum´ericas, que incluyen problemas lineales, no lineales el´asticos y problemas con grandesdeformaciones elastopl´asticas. Finalmente se agrupan algunas conclusiones. CINEM´ATICA DE LA L´AMINA En esta secci´on se presenta un resumen de las hip´otesis m´as importantes sobre el com- portamiento cinem´atico de una l´amina. Mayores detalles pueden encontrarse en la ampliabibliograf´ıa dedicada a este campo 1 .Sea una l´amina cuya superficie media indeformada se extiende sobre el dominio  o Ω enel espacio  R 3 y cuyo contorno es  o Γ. En cada punto de la superficie se l´amina se define unespesor  o t  como la distancia entre las caras superior e inferior de la l´amina medida sobre lanormal  t . Aqu´ı se adopta la hip´otesis de Kirchhoff-Love respecto a que fibras srcinalmentenormales a la superficie media se mantienen normales a la superficie media deformada. Con o x  y  x  se denotan la posici´on srcinal y deformada respectivamente de un punto cualquierade la l´amina, que se escriben en funci´on de la posici´on de la superficie media  ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ  y de lanormal en el punto  t  como o x ( ξ  1 ,ξ  2 ,ξ  3 ) =  o ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ ( ξ  1 ,ξ  2 ) +  ξ  3o t ( ξ  1 ,ξ  2 ) (1) x ( ξ  1 ,ξ  2 ,ξ  3 ) =  ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ ( ξ  1 ,ξ  2 ) + ξ  3 λ t ( ξ  1 ,ξ  2 ) (2)  Un elemento de l´amina sin grados de libertad rotacionales para el an´alisis de c´ascaras  387 donde  ξ  1 ,ξ  2  son coordenadas curvil´ıneas locales definidas sobre la superficie media de lal´amina indeformada y  ξ  3  es la distancia del punto a la superficie media ( ξ  3  ∈ [ −  o t/ 2 ,  o t/ 2]).El producto ξ  3 λ  es la distancia del punto a la superficie media en la configuraci´on deformada.Esto ´ultimo implica un estiramiento transversal constante asociado al par´ametro  λ  querelaciona los espesores en la configuraci´on actual y srcinal, es decir λ  =  t o t  (3)El gradiente de deformaci´on, definido como la derivada de (2) respecto a las coordenadaslocales  ξ  i , puede escribirse como F  =   ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ′ 1  + ξ  3  ( λ t ) ′ 1  ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ ′ 2  + ξ  3  ( λ t ) ′ 2  λ t   (4)El producto  F T F  =  U 2 =  C  (donde  U  es el tensor de estiramiento derecho y  C  el tensorderecho de deformaci´on de Cauchy-Green) resulta entonces U 2 =  ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ T ′ 1  + ξ  3  ( λ t ) T ′ 1 ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ T ′ 2  + ξ  3  ( λ t ) T ′ 2 λ t T   ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ ′ 1  +  ξ  3  ( λ t ) ′ 1  ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ ′ 2  + ξ  3  ( λ t ) ′ 2  λ t  =  ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ ′ 1 · ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ ′ 1  ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ′ 1 · ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ ′ 2  0 ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ ′ 1 · ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ ′ 2  ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ′ 2 · ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ ′ 2  00 0  λ 2  + ξ  3 λ  2 ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ′ 1 · t ′ 1  ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ′ 1 · t ′ 2  + ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ′ 2 · t ′ 1  0 ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ′ 1 · t ′ 2  + ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ′ 2 · t ′ 1  ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ ′ 2 · t ′ 2  00 0 0  + ξ  23 λ 2  t ′ 1 · t ′ 1  t ′ 1 · t ′ 2  0 t ′ 1 · t ′ 2  t ′ 2 · t ′ 2  00 0 0   (5)donde se ha despreciado la influencia de las derivadas de la relaci´on de espesor  λ ′ a . Despre-ciando adem´as los t´erminos asociados con  ξ  23  e introduciendo las definiciones de la primeray segunda forma fundamental de la superficie (con  α,β   = 1 , 2) tenemos:a) el tensor m´etrico covariante o primera forma fundamental de la superficie media a αβ   =  ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ′ α · ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ ′ β   (6)b) el tensor de curvaturas o segunda forma fundamental de la superficie media κ αβ   = 12  ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ ′ α · t ′ β   + ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ ′ β  · t ′ α   (7)el tensor de deformaci´on derecho puede escribirse U 2 =  a 11  + 2 κ 11 ξ  3 λ a 12  + 2 κ 12 ξ  3 λ  0 a 12  + 2 κ 12 ξ  3 λ a 22  + 2 κ 22 ξ  3 λ  00 0  λ 2   (8)  388  F.G. Flores y E. O˜nate Para superficies inicialmente curvas,  U 2 no es el tensor identidad en puntos fuera de lasuperficie media. Introduciendo los cambios de curvatura como χ αβ   =  κ αβ   −  o κ αβ   (9)puede utilizarse la siguiente aproximaci´on, que resulta computacionalmente conveniente U 2 =  a 11  + 2 χ 11 ξ  3 λ a 12  + 2 χ 12 ξ  3 λ  0 a 12  + 2 χ 12 ξ  3 λ a 22  + 2 χ 22 ξ  3 λ  00 0  λ 2   (10)Las tensiones generalizadas (fuerzas y momentos) se obtienen integrando en el espesorsrcinal el segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff   S , usando la distancia actual ala superficie media para el c´alculo de los momentos, es decir N  =   o t S  d ξ  3  (11a) M  =   o t S  λξ  3  d ξ  3  (11b)Con estos esfuerzos la forma d´ebil de las ecuaciones de equilibrio puede escribirse como δ  Π =   o Ω [ δ  E  :  N  +  δ  K  :  M ]d  o Ω +  δ  Π ext  = 0 (12)donde  δ  K  es la variaci´on del tensor de curvaturas y  δ  E  la variaci´on del tensor de deforma-ciones de Green-Lagrange sobre la superficie media (con  δ  αβ   la delta de Kronecker) E  = 12( U 2 − 1 ) (13) E  αβ   = 12 ( a αβ  − δ  αβ  ) (14) ELEMENTO BST CON QUIEBRES Una de las caracter´ısticas fundamentales de los elementos sin grados de libertad rota-cionales es que son  no conformes  . Para introducir en forma discreta la continuidad del giroentre elementos y para la evaluaci´on de las curvaturas (7) se recurre a una parcela de ele-mentos que incluye al elemento en consideraci´on y a los elementos adyacentes. La parcelade elementos a partir de la cual se eval´ua la curvatura en un elemento se muestra en laFigura 1a. En ella se indica la numeraci´on local de los nudos, de los elementos que rodeanal elemento en cuesti´on ( M ) y de los lados. En la Figura 1b se indica la misma parcelasobre un dominio plano normalizado (elemento maestro). Notar la numeraci´on asignada: •  los nudos del elemento principal van de 1 a 3, el nudo 4 es el opuesto al 1, el 5 al 2 yel 6 al 3; •  el lado  i  es el lado opuesto al nudo  i  en el elemento principal y el elemento  i  es eladyacente al mismo lado; •  las conectividades en cada elemento adyacente  i  empiezan por el nudo extra ( i + 3).  Un elemento de l´amina sin grados de libertad rotacionales para el an´alisis de c´ascaras  389 123456123 M123 1 23 456 η 2 η 1 GGG 123 (a) (b) Figura 1.  Parcela de elementos triangulares de tres nudos incluyendo el tri´angulocentral (M) y tres elemento adyacentes (1, 2 y 3) Evaluaci´on de las curvaturas en el elemento BST El c´alculo de las curvaturas (7) en el elemento BST 13 , donde se supone que los cuatroelementos de la parcela pertenecen a una superficie suave, resulta de la integral promedio(15a) y de su correspondiente modificaci´on a partir del teorema de la divergencia (15b)  κ 11 κ 12 2 κ 12   =  − 1 o A   o A  ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ ′ 11 · t ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ ′ 22 · t 2 ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ′ 12 · t  d  o A  (15a)=  − 1 o A   o Γ  n 1  00  n 2 n 2  n 1   ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ ′ 1 · t ( M  ) ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ ′ 2 · t ( M  )  d  o Γ (15b)donde  o A es el ´area srcinal del elemento y  o Γ el contorno del mismo con normal n  =( n 1 ,n 2 ) T .Las direcciones 1 y 2 son direcciones cartesianas arbitrariamente elegidas sobre la superficiesrcinal y  t ( M  ) es la normal al plano del elemento definido por (16). Con un super´ındiceentre par´entesis indicaremos, cuando sea necesario, a qu´e elemento de la parcela se refiereel par´ametro geom´etrico correspondiente. As´ı,  t ( M  ) es la normal al elemento central y  t ( i ) la normal al elemento adyacente opuesto al nudo  i  del elemento central. La geometr´ıa seinterpola en cada elemento en forma independiente a partir de sus tres nudos ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ  = 3  I  =1 L I  ( η 1 ,η 2 )  ϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕ I  (16)Evaluando la integral de contorno (15b) a la mitad de cada lado se tiene (con  o l i  lalongitud srcinal de cada lado e indicando con un sub´ındice  i  valores asociados al lado)  κ 11 κ 12 2 κ 12   =  − 1 o A 3  i =1o l i  n 1  00  n 2 n 2  n 1  i   ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ′ 1 · t ( M  ) ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ′ 2 · t ( M  )  i (17)
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