ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

Please download to get full document.

View again

All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
 0
 
  บทที่ 4 ลำำดับและอนุกรมในระนำบเชิงซ้อน (Sequences and Series in the complex plane) ในบทนี้จะได้ศึกษำถึง ลำำดับและอนุกรมของฟังก์ชันตัวแปรเชิงซ้อนในหลำย ๆ รูปแบบ 5 เพื่อนำำไปใช้ในกำรหำปริพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรเชิงซ้อนอีกวิธีหนึ่งที่จะกล่ำวในบทที่ ซึ่งจะเป็นวิธีที่ทำำให้กำรหำปริพันธ์ง่ำยและสะดวกมำกขึ้น ในกำรศึกษำลำำดับและอนุกรมของฟังก์ชันตัวแปรเชิงซ้อนนี้ก็มีแนวคิดทำำนองเดียวกันกับลำำดับและอนุกรมของค่ำคงตัวที่เรำเคยได้ศึกษำมำแล้ว 4.1 ลำำดับ (Sequence) นิยำม 4.1 ลำำดับของจำำนวนเชิงซ้อน หมำยถึง
Share
Transcript
  บทที ่  4 ลำดับและอนุกรมในระนบเชิงซ้อน (Sequences and Series in the complex plane) ในบทนี  จะได้ศึกษถึง ลำดับและอนุกรมของฟงก์ชันตัวแปรเชิงซ้อนในหลย ๆ รูปแบบ เพื ่อนำไปใช้ในกรหปริพันธ์ของฟงก์ชันตัวแปรเชิงซ้อนอีกวิธีหนึ ่งที ่จะกลวในบทที ่  5 ซึ ่งจะเป็นวิธีที ่ทำให้กรหปริพันธ์งยและสะดวกมกขึ  น ในกรศึกษลำดับและอนุกรมของฟงก์ชันตัวแปรเชิงซ้อนนี  กมีแนวคิดทำนองเดียวกันกับลำดับและอนุกรมของคคงตัวที ่เรเคยได้ศึกษมแล้ว 4.1 ลำดับ (Sequence) นิยม 4.1   ลำดับของจำนวนเชิงซ้อน หมยถึงฟงก์ชันจกเซตจำนวนนับไปยัง เซตจำนวนเชิงซ้อน หรือ ฟงก์ชัน :  f   → ¥ £ ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย ( ) n  f z    หรือ n  z  เมื ่อ n =   1   , 2 , 3 , เรียก ( ) n  f z  หรือ n  z  ว พจน์ที ่ n  และแทนเซตของลำดับ 1 ( )  f z    , 2 ( )  f z  , 3 ( )  f z  , หรือ   1  z  , 2  z  , 3  z  , ด้วย { ( )} n  f z  หรือ { } n  z  ตัวอยง 4.1 ( ก ) เซตของจำนวนเชิงซ้อน i   , 1 − , i − , 1 , i , 1 − , i − , 1 , จะแทนด้วย { } n i หรือ ( ) nn  f z i = หรือ nn  z i = ( ข ) เซตของจำนวนเชิงซ้อน 11! i +   , 2 (1 )2! i + , 3 (1 )3! i + , จะแทนด้วย (1 )! nn i z n +=   หรือ (1 )( )! nn i f z n += หรือ (1 ){ }! n in + # นิยม 4.2   ลำดับ { } n  z  เป็นลำดับลู เข้ (converge) สู   l  กตอเมื ่อ ทุกค 0 ε  > จะต้องมีจำนวนนับ  N  ε  ที ่ทุก ๆ จำนวนนับ n ที ่  n N  ε  ≥ แล้ว n  z l  ε  − < ( 0 , , n  N n n N z l  ε ε  ε ε  ∀ > ∃ ∈ ∀ ∈ ≥ → − < ¥ ¥ ) จะแทนลำดับ { } n  z  ที ่เป็นลำดับลู เข้ด้วย lim nn  z l  →∞ = ถ้ลำดับ { } n  z  ไมเป็นลำดับที ่ลู เข้ เรจะเรียกลำดับนี  ว ลำดับลู ออก (diverge) ทฤษฎี  4.1   ถ้ลำดับ ( ) n  f z  เป็นลำดับลู เข้ แล้ว คที ่ ( ) n  f z  ลู เข้นั  นจะมีเพียงคเดียวเทนั  น   หรือ ถ้ 1 lim nn  z l  →∞ = และ 2 lim nn  z l  →∞ = แล้ว 1 2 l l  = วิธีพิสูจน์ สมมุติให้  1 lim nn  z l  →∞ = และ 2 lim nn  z l  →∞ = และ 1 2 l l  ≠ เป็นจริงนั ่นคือ สำหรับทุก ๆ ค 0 ε  >  มีจำนวนเตมบวก 1 n ε  ซึ ่งทุกๆจำนวนเตมบวก n ที ่  1 n n ε  ≥ แล้ว 1 ( ) n  f z l  ε  − <   และมีจำนวนเตมบวก 2 n ε  ซึ ่งทุกๆจำนวนเตมบวก n ที ่  2 n n ε  ≥ แล้ว 1 ( ) n  f z l  ε  − < ให้  1 2 02 l l  ε  −= > เลือก n ε    = คตำ ่สุดระหวง 1 n ε  และ 2 n ε    1 2 { , } Min n n ε ε  = ซึ ่งทุกๆจำนวนเตมบวก n ที ่  n n ε  ≥ แล้ว 1 ( ) n  f z l  ε  − < และ 1 ( ) n  f z l  ε  − <   เพระว 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n l l l f z f z l f z l f z l  − = − + − ≤ − + −   1 21 2 2 22 l l l l  ε ε ε  −< + = = = −   นั ่นคือ 1 2 1 2 l l l l  − < −   ซึ ่งเป็นข้อขัดแย้งทงคณิตศสตร์ ∴   ที ่สมมุติให้ว 1 lim nn  z l  →∞ = และ 2 lim nn  z l  →∞ = และ 1 2 l l  ≠ เป็นจริงนั  น ดังนั  น 1 2 l l  = #  ในกรหลิมิตของลำดับของจำนวนเชิงซ้อนเรจะหโดยใช้ลิมิตของลำดับของจำนวนจริง โดยหลิมิตของลำดับของสวนจริง และลิมิตของลำดับของสวนจินตภพ ซึ ่งอศัยทฤษฎีดังนี   ทฤษฎี  4.2   ให้  ( ) n n n  f z x y i = + lim ( ) lim( ) n n nn n  f z x y i a bi →∞ →∞ = + = +   กตอเมื ่อ lim nn  x a →∞ = และ lim nn  y b →∞ = วิธีพิสูจน์ (1) ⇒   สมมุติให้  lim( ) n nn  x y i a bi →∞ + = + เป็นจริงให้  0 ε  > ต้องมี  n ε  ซึ ่งทุกๆจำนวนเตมบวก n ที ่  n n ε  ≥ แล้ว ( ) ( ) n n  x y i a bi ε  + − + < ( ) ( ) n n  x a y b i ε  − + − < เพระว Re( )  z z  ≤ และ Im( )  z z  ≤   ∴   ( ) ( ) n n n  x a x a y b i ε  − ≤ − + − < และ ( ) ( ) n n n  y b x a y b i ε  − ≤ − + − < นั ่นคือ สำหรับ 0 ε  > ต้องมี  n ε  ซึ ่งทุกๆจำนวนเตมบวก n ที ่  n n ε  ≥ แล้ว n  x a ε  − <   และ n  y b ε  − < ∴   lim nn  x a →∞ =   และ lim nn  y b →∞ =   (2) ⇐   สมมุติให้  lim nn  x a →∞ = และ lim nn  y b →∞ = เป็นจริง   ให้  0 ε  >   มีจำนวนเตมบวก 1 n ε  ซึ ่งทุกๆจำนวนเตมบวก n ที ่  1 n n ε  ≥ แล้ว 2 n  x a ε  − < ลำดับและอนุกรมในระนบเชิงซ้อน 142    และมีจำนวนเตมบวก 2 n ε  ซึ ่งทุกๆจำนวนเตมบวก n ที ่  2 n n ε  ≥ แล้ว 2 n  y b ε  − < เลือก n ε    = คสูงสุดระหวง 1 n ε  และ 2 n ε    1 2 { , } Max n n ε ε  =   ∴   สำหรับทุกๆจำนวนเตมบวก n ที ่  n n ε  ≥ แล้วจะได้ ( ) ( ) n n  x y i a bi + − + = ( ) ( ) n n  x a y b i − + −   2 2 n n  x a y b ε ε ε  ≤ − + − < + = นั ่นคือ สำหรับ 0 ε  > มี  n ε  ซึ ่งทุกๆจำนวนเตมบวก n ที ่  n n ε  ≥ แล้ว   ( ) ( ) n n  x y i a bi ε  + − + <   ∴   lim( ) n nn  x y i a bi →∞ + = + # ตัวอยง 4.2   จงห 3lim( )2 n n in i →∞ ++ วิธีทำ จก 3 3 2( )( )2 2 2 n i n i n in i n i n i + + −=+ + −   22 3 5 24 n nin − +=+   22 2 3 2 54 4 n nin n += −+ + ดังนั  น 3lim( )2 n n in i →∞ ++ 22 2 3 2 5lim( )4 4 n n nin n →∞ += −+ +   22 2 3 2 5lim( ) lim( )4 4 n n n nin n →∞ →∞ += −+ +   และ 2222 233 2lim( ) lim( ) 3441 n n nnnn →∞ →∞ ++= =++ และ 22 55lim( ) lim( ) 0441 n n nnnn →∞ →∞ = =++   ∴   3lim( )2 n n in i →∞ ++ 3 (0) 3 i = − = # ตัวอยง 4.3   จงแสดงว 2 lim( )2 n n nini →∞ ++ หไมได้หรือ ลู ออก วิธีทำ จก 2 2 2( )( )2 2 2 n ni n ni nini ni ni + + −=+ + −   2 3 22 2 24 n ni n i nn + − +=+   2 32 2 3 24 4 n n nin n −= ++ + ดังนั  น 2 lim( )2 n n nini →∞ ++   2 32 2 3 2lim( ) lim( )4 4 n n n n nin n →∞ →∞ −= ++ + ลำดับและอนุกรมในระนบเชิงซ้อน 143  แต  222 3 3lim( ) lim( ) 3441 n n nnn →∞ →∞ = =++   3223 212 1lim( ) lim( )4 14 0 n n n nnnn n →∞ →∞ −− −= =++   หไมได้นั ่นคือ 2 lim( )2 n n nini →∞ ++ หไมได้หรือ ลู ออก # 4.2 อนุกรม (Series) นิยม 4.3   ลำดับ { ( )} n S z  ที ่ได้จกลำดับ { ( )} n  f z  ที ่กำหนดโดย 1 1 ( ) ( ) S z f z  = 2 1 2 ( ) ( ) ( ) S z f z f z  = + 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) S z f z f z f z  = + +   1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n S z f z f z f z  = + + + L   เรียก ( ) n S z  ว ผลบวกยอยถึงพจน์ที ่  n จะแทนด้วย 1 ( ) nnn  f z  = ∑ หรือ 1 nnn  z  = ∑   เรียกลำดับ 1 ( ) S z    , 2 ( ) S z  , 3 ( ) S z  , . . . หรือ ลำดับ { ( )} n S z  วอนุกรมอนันต์หรือเรียกสั  น ๆ ว อนุกรม   จะแทน 1 2 3 ( ) ( ) ( )  f z f z f z  + + + L ด้วย 1 ( ) nn  f z  ∞= ∑   ถ้ lim ( ) nn S z l  →∞ = เรียกอนุกรมนี  ว อนุกรมลู เข้ และเรียก l  ว ผลบวกของอนุกรมตัวอยง 4.4   กำหนดอนุกรมให้คือ 1 5( )2 nn i ∞= ∑ จงหผลบวกของอนุกรมวิธีทำ จก 1 5( )2 nn i ∞= ∑ 1 5( )2 nn i ∞= = − ∑ 2 3 4 5 5 5 52 2 2 2 i i i i = − − − − − L 2 3 4 1 1 1 15 ( )2 2 2 2 i = − + + + + L เพระว 2 3 4 1 1 1 12 2 2 2 + + + + L เป็นอนุกรมเรขคณิตของจำนวนจริง ลำดับและอนุกรมในระนบเชิงซ้อน 144
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks
SAVE OUR EARTH

We need your sign to support Project to invent "SMART AND CONTROLLABLE REFLECTIVE BALLOONS" to cover the Sun and Save Our Earth.

More details...

Sign Now!

We are very appreciated for your Prompt Action!

x