2EF_16-2 | Ecuaciones diferenciales | Cálculo

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    SEMESTRE 2016 -2 6 DE JUNIO DE 2016 1. Obtener una función   ,  M x y  de modo que la ecuación diferencial sea exacta.    1, 2 0  xy  M x y dx xe xy dy x          Resolución Para que (1) sea exacta es necesario que:  xy xy xy xy  M N ................ y x M x,y dx xe xy dy................... x N  xe xy xye e y ..... x x x x Integrando con respecto a y: N  M x,y dy........... xSustituyendo en se obtiene: M x,y      2 212 11 12 2 3243 4    xy xy I  e y x ye dy y h x .......... x x    1 22  5    xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy  Laintegral I sepuede resolver por partes :u y ; du dyedv e dy ; v x Así e e I ye dy y dy x xe e y ............. x x xSustituyendo en y simplificando :e e e y M x,y x y y h x x x x x x M x,   1122 166 51    xy  y y ye y h x x  22   UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN ACADÉMICA DE CIENCIAS APLICADAS ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO EXAMEN FINAL COLEGIADO RESOLUCIÓN    2. Resolver la ecuación diferencial 7 2  y y sen x     Resolución                       x x x x dx x x x x xu sen x dv e dxdu cos x dx v e x x xu cos x dv e dxdu sen x dx v e x  x e ed e e sen x e y e sen x dxe sen x dx e sen x e cos x dx C e sen                     7777 777 7 7 7212 277 7 7212 277 2 21 22 2 27 7                        x x x x x x x x x x x  x dx e sen x e cos x e sen x dx C e sen x dx e sen x e cos x e sen x dx C e sen x dx e sen x dx e sen x e cos x C                                7 7 77 7 7 77 7 7 7 1 2 1 22 2 2 27 7 7 71 2 42 2 2 27 49 494 1 22 2 2 249 7 49                    7 7 77 7 77 7 77 53 1 22 2 249 7 497 22 2 253 537 22 253 537 22 253 53  x x x x x x x x x x e sen x dx e sen x e cos x C e sen x dx e sen x e cos x C e y e sen x e cos x C  y sen x cos x Ce                           3. Utilizar el método de variación de parámetros para resolver la ecuación diferencial sec  y y x      Resolución             3 21 2 31 2 32 211 0 1 0 0111 0 10001  H  p  , i y C C cos x C senx y C x C x cos x C x senxC.F : ,cos x,senxcos x senxw ,cos x,senx senx cos x sen x cos xcos x senxcos x senx senx cos x sec x cos x senxC x sec xC x sec x dx ln sec x t                                 122 233 31 2 3 1 00 00111 00 001 anx A senxcos x sec x senxC x cos xsec xC x dx x Acos x senxcos x sec x senxC x senxsec x tanxcos xC x tanxdx ln cos x A y C C cos x C senx ln sec x tanx xcos x senxln cos x                                 4. La gráfica de la función     f x  está representada por: calcular       f x   Resolución La función    f x  también se puede expresar como:     0 ; 0cos ; 2 ... 11; 22  x  f x x x x                La ecuación   1  también se puede expresar en términos de funciones escalón unitario:           1cos 2 cos 2 ... 22   f x u x x u x x u x              Ahora, se aplica la transformada de Laplace a   2  :                         1 23 1cos 2 cos 2 ... 32 er término o términoer término   f x F s u x x u x x u x              
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