1EF_16-1 | Ecuaciones diferenciales | Ecuaciones

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  ED_1EF-1_2016-1 SEMESTRE 2016 -1 TIPO 1 DURACIÓN MÁXIMA 2.0 HORAS 5 DE DICIEMBRE DE 2015 NOMBRE__________________________________________________________________________________ Apellido paterno Apellido materno Nombre (s) Grupo Instrucciones: Lee detenidamente los cinco enunciados, este examen es la demostración de tu aprendizaje a lo largo del semestre, trata de entender y resolver primero los que tienes seguridad en tu conocimiento. 1.   Un investigador de crímenes encuentra un cadáver al entrar a un edificio de la Ciudad de México. Al instante mide la temperatura del cadáver siendo de 30 °C. Dos horas más tarde al llegar el médico forense toma nuevamente la temperatura del cadáver la cual ha disminuido a 24 °C. La temperatura ambiente durante este tiempo permanece constante a 5 °C. Si se sabe que la temperatura del cadáver cambia a una velocidad proporcional a la diferencia de temperaturas del cadáver y del ambiente, esto es:    ; C C amb C  dT k T T T representa la temperatura del cadáver dt     Determinar: a)   La solución de la ecuación diferencial. b)   Una expresión que determine la hora en que murió la persona si fue encontrada a las 0:00 horas. Nota: La temperatura del cuerpo humano vivo es de 37 °C. Resolución: Del enunciado   cc amb dT k T T dt     se sabe que 5 amb T C        5 cc dT k T dt     La solución de la Ecuación Diferencial es:   5 c c dT k T dt      5 cc dT kdt T     UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE ECUACIONES DIFERENCIALES PRIMER EXAMEN FINAL RESOLUCIÓN FIRMA  ED_1EF-1_2016-1 Integrando: 5 cc dT k dt T          ln 5 c T kt C      solución general implícita Aplicando exponencial natural: 5  kt c T Ce     5 kt c T Ce    solución explícita Del enunciado: 0, 30 2 , 24 c c t T C y t h T C          0 30 5 25 Ce C        25 5 kt  Tc e    solución particular 2.   Resolver la ecuación diferencial tan  y y x    sujeta a     0 0 ; 0 0  y y     Resolución:     tan ; 0 0 , 0 0  y y x y y        La solución general está dada por: G H P   y y y    La ecuación diferencial se debe resolver por variación de parámetros por ser    tan q x x   Primero la solución homogénea asociada es  H   y :   2 1 0  y y D y      El polinomio auxiliar es: 2 1 0 m      2 1 m      1,2 m i    con 0 a    y 1 b    por lo que: 1 2  cos  H   y C senx C x    Segundo, la solución particular  P   y  : Se propone     cos  P   y u x senx v x x    donde cos  P   y usenx v x    ;   u u x   y   v v x   Entonces con los vectores base: cos 0cos tan  senx x u x senx v x               Premultiplicando por la matriz inversa:  ED_1EF-1_2016-1 2 2 cos 01cos tancos u senx xv x senx x sen x x                    cos 0 cos tancos tan tan u senx x x xv x senx x senx x                        Igualando: cos tan u x x   y tanx v senx   Integrando: u senx dx    y 2 cos  sen xv dx x      cos u x      2 1 cossec coscos  xv dx x x dx x            ln sec tan v x x senx      sustituyendo en la solución particular propuesta:   cos cos ln sec tan cos  P   y x senx x x x senx x       La solución general está dada por:   1 2  cos cos cos ln sec tan G  y C senx C x senx x x senx x x             1 2  cos cos cos cosxln sec tan G  y C senx C x senx x senx x x x           1 2  cos cosxln sec tan G  y C senx C x x x      Sustituyendo las condiciones de valor inicial: 2  0 C        21 2 sec tan seccos ln sec tan cossec tan G  x x x y C x C senx senx x x x x x              1 1 C     Por lo tanto, con 1 1 C     y 2  0 C     se tiene:   cosxln sec tan  P   y senx x x      3.   Determinar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden cos  x y t  y x sent          Resolución: El sistema es: cos  x y t  y x sent          cos  x y t  x y sent         1 cos1  D x t  D y sent                   ED_1EF-1_2016-1 Al usar determinantes:   2 1 cost 11 cos1  D x D x D t sent  D sent D        entonces:   2 1 0  D x sent sent       La ecuación diferencial es:   2 1 0  D x    Es una ecuación diferencial lineal, ordinaria, homogénea, entonces: G H   x x   Para  H   x  :   2 1 0  D x    , 2 1 0 m     , 2 1 m     , 1,2 m i     1 2 cos  H   x C t C sent      1 2 cos cos  H   y t C sent C t          1 2 cos 1  H   y C sent t C       4.   Resolver la siguiente ecuación diferencial   4 3 5 2  y y y t u t        usar transformada de Laplace, sujeta a las condiciones de valor inicial     0 1 , 0 1  y y      Resolución:   4 3 5 2  y y y t u t       ;     01,01  y y     Se puede escribir como:     4 3 5 2 2 2  y y y t u t                 4 3 5 2 2 10 2  y y y t u t u t           Aplicando transformada de Laplace:                  4 3 5 2 2 10 2  y y y t u t u t                        2 22 1 0 02 1 1 4 4 1 3 5 10  s s e e s Y s s s sY s s Y s s s               2 222 4 3 5 10 1 4  s s e eY s s s s s s             
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